Trong chương trình Toán lớp 12, phần hình học không gian với chuyên đề khối đa diện là một trong những nội dung quan trọng mà các em cần nắm vững. Nội dung dưới đây được thầy Trùn Sĩ Tùng biên soạn, trình bày đầy đủ lý thuyết cơ bản cùng tuyển chọn các dạng toán phổ biến liên quan đến khối đa diện giúp các bạn học sinh luyện tập và củng cố kiến thức một cách bài bản.
I. Quan hệ song song
Đây là phần rất cần thiết khi các em làm quen với các khối đa diện, đặc biệt là các vấn đề chứng minh trong hình học không gian.
1. Hai đường thẳng song song
Các em nhớ rằng hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng không cắt nhau và nằm trên cùng một mặt phẳng. Đây là định nghĩa cơ bản mà khi gặp bài toán phải chứng minh song song, ta sẽ vận dụng rất nhiều.
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Khi nói đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), thì d không nằm trong mặt phẳng (P) và không cắt mặt phẳng đó. Thầy/cô thường nhắc các bạn: để chứng minh điều này, cách đơn giản là chứng minh d song song với một đường thẳng nằm trong (P).
3. Hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không giao nhau. Thường thì để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau, lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
4. Chứng minh quan hệ song song
Khi các em làm bài tập, có ba phương pháp cơ bản sau đây để chứng minh quan hệ song song:
- Chứng minh 2 đường thẳng song song:
Có thể thực hiện bằng cách chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, sau đó áp dụng các tính chất hoặc định lí song song trong hình học phẳng như tính chất đường trung bình hoặc định lí Talét đảo.
Hoặc chứng minh 2 đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
Hoặc áp dụng các định lí về giao tuyến song song. - Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta cần chứng minh d không thuộc (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P). - Chứng minh hai mặt phẳng song song:
Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau, đồng thời song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
II. Quan hệ vuông góc
Phần này khá quan trọng, thường các em hay nhầm lẫn giữa vuông góc và song song, vì thế cần chú ý làm rõ trong từng bài tập.
1. Hai đường thẳng vuông góc
Các bạn nhớ, hai đường thẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ.
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó, hoặc ít nhất vuông góc với một đường thẳng bất kỳ trên mặt phẳng.
3. Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc khi giao nhau tạo với nhau một góc 90 độ.
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
Trong nhiều bài toán, việc chứng minh hai đường thẳng, hoặc đường thẳng với mặt phẳng hoặc hai mặt phẳng vuông góc là bước quan trọng để xác định các yếu tố khác như khoảng cách hay thể tích.
III. Góc – Khoảng cách
1. Góc
Các em nhớ đo góc giữa các đối tượng trong không gian dựa vào các cách tính cụ thể trong từng dạng bài.
2. Khoảng cách
- Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (hoặc mặt phẳng): là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng (hoặc mặt phẳng).
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng đó.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
- Hoặc khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất.
- Hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng, trong đó mỗi mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng kia.
IV. Nhắc lại một số công thức trong hình học phẳng
- Thể tích của khối hộp chữ nhật: Tính được bằng công thức tích độ dài các cạnh bên nhau.
- Thể tích của khối chóp: bằng cơ sở x chiều cao : 3.
- Thể tích của khối lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao.
- Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện:
- Chi tiết tính thể tích bằng công thức, cần tính đầy đủ các yếu tố: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao rồi áp dụng công thức thích hợp.
- Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Chia khối đa diện thành các khối nhỏ dễ tính để cộng lại.
- Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ghép thêm khối đa diện khác sao cho tổng thể tích dễ tính.
- Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích: áp dụng các tỉ số trong hình học không gian.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức về khối đa diện một cách chặt chẽ và dễ hiểu, đồng thời luyện tập các dạng bài tập cơ bản đến nâng cao để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT và Đại học sắp tới. Các bạn chú ý vận dụng linh hoạt các phương pháp chứng minh song song, vuông góc cũng như cách tính khoảng cách, góc và thể tích để giải bài tập hiệu quả nhé!
