Hiện tại, nhiều học sinh lớp 12 đang tập trung ôn luyện để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong chương trình Hình học 12, chủ đề về mặt cầu, mặt nón và mặt trụ là rất quan trọng, thường xuất hiện trong đề thi nên các em cần nắm vững kiến thức cũng như cách giải các bài tập liên quan.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. MẶT NÓN
1/ Mặt nón tròn xoay
Trong một mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d và (Delta) cắt nhau tại điểm O, tạo thành góc (beta) với (0 < beta < 90^{circ}). Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục (Delta) góc (beta) không thay đổi, ta được gọi là mặt nón tròn xoay có đỉnh tại O.
Người ta thường gọi tắt là mặt nón tròn xoay thành mặt nón. Đường thẳng (Delta) gọi là trục của mặt nón, đường thẳng d là đường sinh, và góc ở đỉnh là (2beta).
2/ Hình nón tròn xoay
Cho tam giác vuông (triangle OIM) tại I, khi quay quanh cạnh góc vuông OI, đường gấp khúc OIM tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay, hay gọi tắt là hình nón.
Trong đó đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI là đường cao và OM là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I và bán kính (r = IM) là đáy của hình nón.
3/ Công thức diện tích và thể tích hình nón
- Diện tích xung quanh của hình nón: (S_{xq} = pi r l), trong đó (r) là bán kính đáy, (l) là đường sinh.
- Diện tích toàn phần: (S_{tp} = pi r (l + r)).
- Thể tích hình nón: (V = dfrac{1}{3} pi r^2 h), với (h) là chiều cao (đường cao từ đỉnh vuông góc xuống đáy).
II. MẶT TRỤ
1/ Mặt trụ tròn xoay
Mặt trụ tròn xoay được tạo thành khi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó làm trục. Kể cả mặt phẳng chứa cạnh trục không đổi, ta có mặt trụ tròn xoay.
2/ Hình trụ tròn xoay
Hình trụ tròn xoay là hình khối không gian tạo bởi mặt trụ tròn xoay, với hai đáy là hai hình tròn song song và bằng nhau, hai đường thẳng bên song song gọi là các đường sinh.
3/ Công thức diện tích và thể tích hình trụ
- Diện tích xung quanh: (S_{xq} = 2 pi r h), trong đó (r) là bán kính đáy, (h) là chiều cao.
- Diện tích toàn phần: (S_{tp} = 2 pi r (h + r)).
- Thể tích: (V = pi r^2 h).
III. MẶT CẦU
1/ Định nghĩa mặt cầu
Mặt cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định gọi là tâm mặt cầu, khoảng cách đó gọi là bán kính mặt cầu.
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Một điểm có thể nằm trong, trên hoặc ngoài mặt cầu tùy thuộc khoảng cách đến tâm mặt cầu so với bán kính.
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Một mặt phẳng có thể cắt mặt cầu tại một đường tròn hoặc chỉ tiếp xúc mặt cầu tại một điểm hoặc không giao nhau.
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Đường thẳng có thể cắt mặt cầu tại hai điểm, tiếp xúc mặt cầu tại một điểm hoặc không giao nhau.
5/ Diện tích và thể tích mặt cầu
- Diện tích mặt cầu: (S = 4 pi r^2).
- Thể tích mặt cầu: (V = dfrac{4}{3} pi r^3).
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
1/ Khái niệm cơ bản
- Trục của đa giác đáy: Là trục đối xứng của đa giác.
- Đường trung trực của đoạn thẳng: Đường thẳng vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng.
- Mặt trung trực của đoạn thẳng: Mặt phẳng vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp, bán kính là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh.
3/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình đa diện cơ bản
- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
- Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
- Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
- Hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
- Một số trường hợp đặc biệt với đường tròn ngoại tiếp các đa giác thường gặp.
II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
- Dạng 1: Hình chóp có các điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông.
- Dạng 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
- Dạng 3: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phần bài tập trắc nghiệm tập trung vào việc vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán về mặt cầu, mặt nón và mặt trụ trong hình học không gian. Đây là các dạng bài thường gặp trong đề kiểm tra và kỳ thi, giúp rèn luyện kỹ năng nhận biết và giải nhanh, chính xác.
