Phần I: Đại số – Giải tích
Chương 4: Giới hạn
Chúng ta sẽ hệ thống lại các kiến thức về giới hạn dãy số và hàm số, với các dạng bài tập quan trọng thường gặp trong đề thi.
1. Giới hạn của dãy số
Có các định nghĩa cơ bản về giới hạn bằng 0, giới hạn hữu hạn và vô cực của dãy số. Thông qua định lí và các công thức đặc biệt, các em học sinh sẽ biết cách tìm giới hạn của các dãy số dạng phân thức đa thức, các cấp số nhân lùi vô hạn và dãy số có căn thức.
Ví dụ:
Tính giới hạn (L = lim_{n to +infty} frac{4n^2 - n - 1}{3n^2 + 2}).
Lời giải: Chia tử và mẫu cho (n^2), ta có (L = frac{4 - 0 - 0}{3 + 0} = frac{4}{3}).
2. Giới hạn của hàm số
Xét giới hạn vô định dạng (frac{0}{0}) bằng phương pháp phân tích đa thức, nhân liên hợp để khử dạng vô định. Đồng thời, phân loại các dạng giới hạn vô cực và giới hạn tại một điểm.
Ví dụ:
Tính giới hạn (lim_{x to 2} frac{2x^2 + 3x -14}{x^2 - 4}).
Lời giải: Phân tích biểu thức và rút gọn, ta có (lim_{x to 2} frac{2x+7}{x+2} = frac{11}{4}).
3. Hàm số liên tục
Định nghĩa và các tính chất của hàm số liên tục tại một điểm, trên khoảng và trên đoạn. Ứng dụng định lý giá trị trung gian và chứng minh bài toán có nghiệm.
4. Đạo hàm
Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như đạo hàm của tổng, tích, thương, hàm hợp. Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp và hàm hợp.
Ví dụ:
Tính đạo hàm của hàm số (f(x) = frac{2x^2}{3x -1}).
Lời giải: Áp dụng quy tắc thương, ta có (f'(x) = frac{4x(3x -1) - 2x^2 (3)}{(3x -1)^2} = frac{4x(3x -1) -6x^2}{(3x -1)^2}).
5. Vi phân
Khái niệm vi phân và hướng dẫn cách tìm vi phân của các hàm số khác nhau.
Phần II: Hình học
Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa và các định lý quan trọng như định lý ba đường vuông góc. Hướng dẫn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng phép chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trên mặt phẳng đó.
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Hướng dẫn từng bước cách xác định và tính góc này bằng cách dựng các đường vuông góc và áp dụng định lý lượng giác.
3. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng và điều kiện cần, đủ. Cách chứng minh và các ví dụ điển hình kèm lời giải cụ thể.
4. Thiết diện vuông góc
Phương pháp xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng, hoặc thiết diện qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Cách xây dựng các mặt phẳng cần tìm trong các bài toán thực tế.
5. Khoảng cách
Chi tiết các kiến thức về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp xác định, các bước tính toán và ví dụ minh họa.
6. Các bài tập vận dụng sâu
Hệ thống các bài tập chọn lọc, bám sát chương trình học với hướng dẫn giải chi tiết, giúp học sinh nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải toán nâng cao.
