Chào các em, hôm nay thầy giới thiệu với các em đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp cơ sở năm học 2023-2024 được tổ chức tại cụm THPT Lục Nam, tỉnh Bắc Giang. Đề thi bao gồm 70% câu hỏi trắc nghiệm, với 40 câu tổng điểm 14, và 30% câu hỏi tự luận gồm 3 câu điểm 6, thời gian làm bài 120 phút. Thầy sẽ cùng các em phân tích chi tiết một số câu hay và cách giải để ôn luyện hiệu quả.
Bài toán chuyển động gặp nhau
Một người đi bộ bắt đầu từ điểm B trên bờ sông thẳng, với vận tốc 6 km/h. Người này muốn gặp một người khác chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ điểm A trên sông, với vận tốc 3 km/h. Giả sử không xét dòng nước, và người chèo thuyền đi theo hướng vuông góc với bờ sông đến điểm H cách A một khoảng AH = 300 m, trong khi khoảng cách trên bờ từ B đến H là 1400 m.
Điều đáng chú ý là nếu người chèo thuyền đi theo cách này, hai người không thể đến cùng lúc. Để điều chỉnh, mỗi người cùng di chuyển đến vị trí C nằm giữa H và B để gặp nhau. Nhiệm vụ của chúng ta là tính thời gian từ lúc xuất phát đến khi hai người gặp nhau.
Đáp án lựa chọn gồm: 10 phút, 20 phút, 17 phút hoặc 27 phút. Các em cần vận dụng kiến thức chuyển động thẳng, vận tốc và khoảng cách để giải quyết bài toán thú vị này.
Bài toán tập hợp học sinh chơi thể thao
Lớp 10A có các học sinh với khả năng chơi ba môn thể thao: bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ. Cụ thể có 10 học sinh biết chơi bóng đá, 7 học sinh biết chơi bóng chuyền, 6 học sinh biết chơi bóng rổ.
Bên cạnh đó, lớp có 4 học sinh biết chơi đồng thời bóng đá và bóng chuyền; 3 học sinh biết chơi đồng thời bóng đá và bóng rổ; 2 học sinh biết chơi đồng thời bóng chuyền và bóng rổ; và 1 học sinh biết chơi cả ba môn trên.
Câu hỏi đặt ra là: Số học sinh biết chơi ít nhất một trong các môn thể thao trên là bao nhiêu? Bài tập này giúp các em ôn lại kiến thức về tập hợp, các phép cộng trừ trong toán học và cách áp dụng công thức bao hàm – loại trừ.
Bài toán dây cáp cầu treo hình parabol
Xét một cầu treo, dây cáp treo có dạng parabol, nối hai điểm A và B gắn vào các trục đứng AA’ và BB’ trên hai đầu cây cầu. Chiều cao các điểm gắn A và B là 30 m, còn khoảng cách trên nền giữa A và B là 200 m.
Giả sử các điểm Q, P, H, C, I, J, K chia đoạn A B thành các phần bằng nhau. Các thanh dọc nối từ nền cầu đến dây cáp parabol tại các điểm này là các dây cáp treo. Khi biết chiều dài dây cáp ngắn nhất CC là 5 mét, các em sẽ được bước vào bài toán tính tổng độ dài các dây cáp treo này.
Bài toán này bao quát kiến thức hình học phẳng, đặc biệt là parabol, cũng như ứng dụng trong tính toán thực tế về cầu treo.
Những điểm chính trong đề thi trắc nghiệm
- Cho tam giác ABC với các thông số AB = 2, AC = 3, góc BAC = 60 độ, yêu cầu tính tỉ số 29 vector AB / BC với các đáp án cho trước.
- Xét hệ bất phương trình với nghiệm S, học sinh cần xác định điểm (x, y) nào thuộc hoặc không thuộc S trong các lựa chọn.
- Tính tổng các nghiệm của phương trình bậc hai 2x^2 - 4x - 1 = -x với đáp án được đưa ra dưới dạng số thực.
- Phương trình đường tròn có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với đường thẳng 2x + y - 1 = 0, học sinh được yêu cầu chọn phương trình đường tròn phù hợp.
Đề bài mang tính tổng hợp, đan xen nhiều phần kiến thức quan trọng về đại số, hình học, bất phương trình, và kỹ năng giải toán nhanh, giúp các em củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập.
