Chào các em và các thầy cô, hôm nay thầy muốn giới thiệu một đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 của trường THPT Nguyễn Gia Thiều, năm học 2023–2024. Đây là dạng đề khá hay và có độ khó phù hợp để các bạn luyện tập, giúp nâng cao kỹ năng và kiến thức của mình.
Câu 1 (4 điểm): Về hàm số và bất phương trình
Cho hàm số ( f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + 1 ). Các em chú ý: đây là một hàm bậc hai có tham số ( m ), chúng ta sẽ khảo sát để tìm giá trị của ( m ) thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tìm ( m ) để bất phương trình ( f(x) geq 0 ) với mọi ( x in mathbb{R} ) có nghiệm đúng.
- Tìm ( m ) để phương trình ( f(x) = 0 ) có hai nghiệm ( x_1, x_2 ) đều lớn hơn 1.
Phần này rất quan trọng, giúp các em luyện kỹ năng phân tích hàm số, sử dụng tính chất bất phương trình, phương trình bậc hai với tham số.
Câu 2 (4 điểm): Phương trình và nghiệm thực
1. Tìm giá trị ( m ) để phương trình ( x^2 - 9x + x - 9x + m = 0 ) có nghiệm thực.
2. Giải phương trình:
[ (x^2 - 2)^2 - 3(x - 2) + 18 = 0 ]
Đây là dạng phương trình bậc cao nhưng có thể dùng phương pháp đưa về phương trình bậc hai, rất thường gặp trong bài tập ôn luyện và thi học sinh giỏi.
Câu 3 (4 điểm): Bài toán thực tế và hình học
1. Bài toán về diện tích trồng cây và công lao động:
Một hộ nông dân dự định trồng đậu và cà trên diện tích 2800 m2. Cứ 2100 m2 trồng đậu cần 10 công và lãi 7 triệu đồng, trồng cà cần 15 công và lãi 9 triệu đồng. Tổng số công không vượt quá 90 công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Bài toán này giúp các em vận dụng kiến thức bất phương trình, hàm số để tối ưu hóa lợi nhuận thực tế, rất hữu ích với các bài toán ứng dụng sau này.
2. Bài toán về hình chữ nhật và tối đa hóa diện tích:
Một bác nông dân có 60 m lưới, muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật. Vì một cạnh là tường nên bác chỉ cần rào 3 cạnh còn lại. Yêu cầu tính diện tích lớn nhất có thể được.
Đây là dạng bài toán cực trị các hàm số thường gặp, rất quan trọng trong chương trình lớp 10.
3. Bài toán hình học về tam giác và tỉ số đoạn thẳng:
Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN. Chứng minh rằng ( AK = 6 , KM ).
Bài tập này yêu cầu vận dụng định lý Menelaus, tọa độ hoặc kiến thức hình học phẳng để chứng minh tỉ lệ đoạn thẳng, tăng cường kỹ năng lập luận và xây dựng chứng minh hình học.
