Các em học sinh và thầy cô giáo thân mến, hôm nay thầy/cô muốn chia sẻ một đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 của trường THPT số 1 Lê Hồng Phong, tỉnh Đắk Lắk, năm học 2025 – 2026. Đây là dạng đề rất hay, có đáp án cùng lời giải chi tiết giúp các em hệ thống lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài, nhất là cho các bạn muốn thử sức với các bài tập nâng cao.
Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình
- Phương trình:
- a) (sin x - 3cos^2 x = 2x)
- b) (2x^2 + 2y^2 = 3y), cùng hệ phương trình đi kèm (câu hỏi chi tiết theo đề chính thức).
Trong phần này, các em chú ý vận dụng kiến thức về hàm lượng giác và giải hệ phương trình đại số. Đây là phần rất quan trọng không những giúp bồi dưỡng logic mà còn rèn luyện tư duy giải toán tổng hợp.
Câu 2: Hình học và chứng minh
- a) Chứng minh nếu tam giác (ABC) thỏa mãn điều kiện: [0 = cos A + 2cos B + 2cos C ] thì tam giác đó là tam giác vuông.
- b) Cho hai đường tròn ((O,R)) và ((O',R')) với (R < R'), cắt nhau tại (A) và (B), sao cho góc ( widehat{OAO'} = 90^circ ). Đường thẳng (OO') cắt đường tròn ((O,R)) tại (C, D) và cắt đường tròn ((O',R')) tại (E, F) sao cho các điểm (C, O, E, D, O', F) nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia (BE) cắt đường tròn ((O,R)) tại (K neq B) và đoạn thẳng (AC) tại (M). Tia (BD) cắt đường tròn ((O',R')) tại (L neq B) và đoạn thẳng (AE) tại (N). Chứng minh rằng (M, N, K, L) thẳng hàng.
Phần hình học này đòi hỏi các em phải vận dụng kiến thức về góc, liên hệ các tính chất đặc biệt về đường tròn, cùng kỹ năng lập luận chặt chẽ để chứng minh bài toán phức tạp.
Câu 3: Toán thực tế và bài toán tổ hợp xác suất
Câu hỏi đầu tiên là bài toán thực tế về diện tích mặt sàn trong kiến trúc:
- Một cái tháp có 9 tầng; diện tích mặt sàn của tầng 2 bằng nửa diện tích mặt đáy tháp, và diện tích mặt sàn mỗi tầng sau bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới. Biết diện tích mặt đáy tháp là (a) mét vuông, hãy tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng theo (a).
Đây là bài toán ứng dụng kiến thức về cấp số nhân và sự giảm dần tỷ lệ diện tích, giúp các em luyện tập kỹ năng biểu diễn bài toán thực tế bằng biểu thức toán học, sau đó tính toán chính xác.
- Câu tiếp theo liên quan đến xác suất và tổ hợp:
- Cho tập hợp (A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Gọi (S) là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của (A). Chọn ngẫu nhiên một số trong (S), hãy tính xác suất để số đó có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
Bài này giúp các em làm quen với kỹ thuật đếm, tính xác suất trong phạm vi tổ hợp và xác suất lý thuyết.
- Cuối cùng là bài toán tổ hợp tô màu:
- Mỗi đỉnh của ngôi sao năm cánh được sơn một màu khác nhau. Có 6 màu khác nhau để lựa chọn và hai đỉnh nối với nhau qua cạnh bắt buộc phải có màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu cho các đỉnh của ngôi sao đó?
Bài tập tô màu này là dạng bài quen thuộc trong tổ hợp có điều kiện, giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng tính toán với các ràng buộc.
Thầy/cô nghĩ các câu hỏi này đều rất sát với chương trình nâng cao lớp 11, dùng làm đề ôn luyện hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi rất phù hợp. Khi làm quen và luyện tập thường xuyên với dạng đề này, các em sẽ tăng cường kỹ năng giải toán, phát triển tư duy linh hoạt, cũng như chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng sắp tới.
