Đây là đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 năm học 2025-2026 gồm 5 bài tập liên quan đến đại số, hình học và xác suất. Đề bám sát chương trình Toán lớp 9 nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập nâng cao và tư duy toán học.
Bài I
Gồm các bài tập về biểu thức chứa căn thức và tính giá trị biểu thức với điều kiện tìm nghiệm nguyên. Ví dụ như tính giá trị biểu thức P và chứng minh 1 = frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}} cùng với việc tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài II
Bài tập xác suất lồng ghép với các kiến thức số học về chia hết. Ví dụ như tính xác suất tổng số chấm lớn hơn 7 khi gieo xúc xắc hai lần, chứng minh các số nguyên a,b,c chia hết cho 3 dựa trên điều kiện tổng các bình phương chia hết cho 3.
Bài III
Câu hỏi tập trung vào tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các số thực không âm thỏa điều kiện a+b+c=3 với biểu thức phân thức phức tạp. Ví dụ áp dụng bất đẳng thức AM-GM và kỹ thuật biến đổi đại số để giải quyết.
Bài IV
Liên quan đến hình học với tam giác nội tiếp đường tròn, đường cao, phân giác, các điểm giao nhau. Yêu cầu chứng minh hình bình hành, chứng minh góc vuông thông qua các tính chất hình học và quan hệ tỷ lệ. Ví dụ chứng minh các đoạn thẳng như (OA=EF), góc vuông giữa các đường và tính chất trung trực.
Bài V
Bài tập cuối là phần toán tổ hợp kết hợp đại số tìm các cặp số nguyên thoả mãn đa thức và bài toán dễ điền số vào ô vuông sao cho thỏa một số điều kiện về tập hợp. Có ví dụ điền số vào bảng 5x6 sao cho mỗi số xuất hiện ít nhất một lần, với lời giải chi tiết phân tích cách xếp số, đánh giá điều kiện hợp lệ.
Toàn bộ đề và lời giải được trình bày chi tiết từ đại số đến hình học, phù hợp học sinh lớp 9 luyện thi học sinh giỏi, giúp hệ thống hóa kiến thức và phát triển kỹ năng giải toán nâng cao.
