Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2025-2026 của trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam gồm 5 bài với nhiều dạng toán khác nhau, bao gồm giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các bài toán hình học. Đề có thời gian làm bài 150 phút, phù hợp cho học sinh lớp 9 chuyên nâng cao khả năng giải toán và ôn luyện thi học sinh giỏi.
Bài I (5 điểm)
- Bài toán giải phương trình 3(x-1)(x-7) + 4x√(x+1) = 0 với điều kiện x ≥ -1. Ví dụ, nghiệm x = 3 hoặc x = 7 - 2√7 được tìm ra trong lời giải chi tiết.
- Bài toán tính giá trị biểu thức P dựa trên các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn hệ đẳng thức phức tạp, thể hiện kỹ năng biến đổi đại số và phân tích.
Bài II (4 điểm)
- Chứng minh số học về số chính phương liên quan đến đẳng thức chia hết, ví dụ chứng minh 23n - 2025 chia hết cho 88 khi n thỏa mãn điều kiện đầu bài.
- Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình (x + y)^7 = 2025x + 162 với điều kiện x, y là số nguyên dương.
Bài III (3 điểm)
- Bài toán thực tế ứng dụng lắp đặt trụ sạc xe điện với tổng công suất và chi phí, đòi hỏi tìm số lượng trụ sạc mỗi loại làm tối ưu tổng chi phí.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất biểu thức liên quan a, b, c với điều kiện a + b + c = 2, áp dụng bất đẳng thức và kỹ thuật giải toán bất đẳng thức.
Bài IV (6 điểm)
- Bài toán hình học phẳng với tam giác nhọn, không cân, có các đường cao cắt nhau và nội tiếp đường tròn, chứng minh tính vuông góc, tỉ lệ đoạn thẳng và điểm thẳng hàng trong hình học phẳng.
Bài V (2 điểm)
- Chứng minh tồn tại số nguyên k thỏa mãn điều kiện cho trước về cặp số nguyên dương (x,y) liên quan phương trình x^2 - x = y^2 - k.
- Bài tập về tập hợp hữu hạn các số nguyên dương có mức độ n thỏa điều kiện bất đẳng thức cho trước, ví dụ tìm tập có mức độ 5 có 4 phần tử hay số phần tử lớn nhất của tập mức độ 25.
Đề có lời giải chi tiết các bài tập với các phương pháp giải đa dạng từ đại số, số học modular, bất đẳng thức đến hình học, rất phù hợp cho học sinh củng cố và nâng cao kiến thức thi học sinh giỏi Toán lớp 9.
