Đại số 12 – Ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Cô Kim 09/04/2026 (Last updated: 03/02/2026)

1. Sơ đồ bài toán khảo sát

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số.

Tính đạo hàm, xét dấu và xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
Tính giới hạn tại vô cực và tìm các tiệm cận nếu có.
Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số.

Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
Xác định các điểm cực trị, giao điểm với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm).
Vẽ đồ thị hàm số.

2. Khảo sát hàm số bậc ba: y=ax^3+bx^2+cx+d (a ≠ 0)

Tập xác định: D=R, đạo hàm: y'=3ax^2+2bx+c.

Đồ thị nhận điểm I(x0;y0) làm tâm đối xứng, với x0 là nghiệm của y''=0 và y0=y(x0).

Các dạng đồ thị gồm trường hợp y'=0 có 2 nghiệm phân biệt (hai cực trị), nghiệm kép (không có cực trị), hoặc vô nghiệm (không có cực trị), kèm theo hình minh họa.

3. Khảo sát hàm số phân thức: y=(ax+b)/(cx+d), c≠0, ad - bc ≠0

Tập xác định: D=R\{-d/c}, đạo hàm: y'=(ad-bc)/(cx+d)^2.

Phương trình các đường tiệm cận bao gồm tiệm cận ngang y=a/c, tiệm cận đứng x=-d/c.

Đồ thị có tâm đối xứng tại I(-d/c;a/c), nhận đường phân giác tạo bởi hai đường tiệm cận làm trục đối xứng.

4. Khảo sát hàm số phân thức: y=(ax^2 + bx + c)/(mx+n), a≠0, m≠0

Tập xác định: D=R\{-n/m}, đạo hàm: y'=[2amx^2 + 2anx + bn - cm] / (mx+n)^2.

Phương trình các đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng x=-n/m và tiệm cận xiên y=(a/m) x + (b - am)/m^2.

Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng, nhận đường phân giác tạo bởi hai đường tiệm cận làm trục đối xứng, kèm theo các dạng đồ thị minh họa.