Chuyên đề Toán 11: Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân
Nội dung chuyên đề bao gồm ba phần chính: Dãy số, Cấp số cộng, và Cấp số nhân. Chuyên đề cung cấp kiến thức giúp học sinh lớp 11 hiểu và vận dụng các khái niệm cơ bản cùng phương pháp giải các bài toán liên quan đến dãy số vô hạn và hữu hạn, xác định tính chất tăng giảm, bị chặn của dãy số; đồng thời biết cách xác định số hạng tổng quát và tính tổng các số hạng đầu của cấp số cộng và cấp số nhân.
1. Dãy số
- Khái niệm dãy số vô hạn và hữu hạn: Hàm số xác định trên tập số nguyên dương được gọi là dãy số (un). Ví dụ, dãy số với un = 2n là dãy số hữu hạn khi xác định trên M = {1,2,3,4,5}.
- Cách xác định dãy số: liệt kê số hạng, công thức số hạng tổng quát un, hệ thức truy hồi, hoặc mô tả.
- Tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số: Dạy học sinh cách phân tích ví dụ cụ thể để nhận biết tính chất các dãy số như dãy số tăng un = 3n-2 hay dãy số giảm un = (n+2)/4^n.
2. Cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số trong đó hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi là công sai d. Học sinh được học cách chứng minh dãy số là cấp số cộng, tìm công sai, số hạng đầu và số hạng tổng quát un = u1 + (n-1)d. Ngoài ra, học sinh sẽ biết cách tính tổng n số hạng đầu Sn = n(u1 + un)/2. Các ví dụ minh họa bao gồm bài toán thực tế như tính tổng số ghế trong một rạp hát xếp thành cấp số cộng hoặc dân số tăng theo cấp số cộng.
3. Cấp số nhân
Cấp số nhân là dãy số trong đó tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi là công bội q. Số hạng tổng quát được xác định bởi công thức un = u1.q^(n-1). Học sinh học cách tìm công bội, tìm số hạng tổng quát, tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Sn = u1(1-q^n)/(1-q). Các bài toán ứng dụng bao gồm tính số lượng vi khuẩn tăng theo cấp số nhân hoặc tính khối lượng còn lại của vật phóng xạ theo chu kỳ bán rã.
Ví dụ thực tế từ tài liệu:
- Cho dãy số (un) với un = 3n^2 - 1, bảy số hạng đầu tiên là 2, 11, 26, 47, 74, 107, 146.
- Tính số dư trong tài khoản sau 4 năm với lãi suất 3% mỗi năm và phí duy trì là 120 nghìn đồng theo hệ thức truy hồi An = 1,03 An-1 - 120000.
- Dân số của Việt Nam năm 2018 là 96 triệu và tăng 1 triệu mỗi năm, tính dân số năm 2030 theo cấp số cộng.
- Tính độ dài cung tròn của quả lắc đồng hồ lần thứ 10 với giảm 0,98 lần sau mỗi lần dao động theo cấp số nhân.
- Tính tổng số ghế trong rạp hát có 20 hàng ghế, dãy số ghế mỗi hàng tạo thành cấp số cộng với u1=17, d=3.
Chuyên đề phù hợp cho học sinh lớp 11 sử dụng để ôn tập và luyện tập nhằm củng cố kiến thức cơ bản và nâng cao trong chương trình học kỳ 1 môn Toán.
