Đề thi chọn học sinh giỏi Toán này dành cho học sinh có năng lực cao, nhằm thúc đẩy khả năng phân tích và giải bài toán nâng cao chuyên sâu. Đề bao gồm 5 câu hỏi, tổng điểm 20 điểm, với thời gian làm bài 180 phút, phù hợp cho học sinh lớp 12 ôn tập, luyện giải các dạng toán phức tạp.
Câu 1
Cho hàm số thỏa mãn phương trình hàm số đặc biệt, yêu cầu tìm hàm số khi a = 1 và chứng minh tính chất khi a = 2, giúp luyện kỹ năng giải bài toán hàm số khó.
Câu 2
Xét dãy số theo quy luật cho trước, học sinh phải chứng minh giới hạn hữu hạn và tính giới hạn của dãy, rèn luyện kỹ năng giới hạn và dãy số.
Câu 3
Bài toán hình học về tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, chứng minh các tứ giác nội tiếp, và đường thẳng đi qua điểm cố định, giúp củng cố kiến thức về hình học giải tích và hình học quan hệ.
Câu 4
Đa thức hệ số thực bậc lớn với nhiều nghiệm phân biệt, yêu cầu chứng minh tính chất đa thức và nghiên cứu nghiệm, tăng cường kỹ năng giải toán đại số nâng cao.
Câu 5
Bài toán tổ hợp và số học liên quan đến phân phối vở cho học sinh, vừa rèn luyện khả năng tư duy tổ hợp vừa áp dụng vào thực tiễn.
Đề thi này phù hợp cho học sinh lớp 12 muốn luyện tập, nâng cao kiến thức Toán, đặc biệt là các dạng bài nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia hoặc tham gia các kỳ thi học sinh giỏi.
