Bài 1 (4 điểm)
- Phân tích đa thức thành nhân tử: Cho đa thức ( A = x^4 + 4x^2 + 1 ). Các bước biến đổi cho thấy đa thức có thể được phân tích thành tích của hai đa thức bậc hai. Đây là dạng toán cơ bản trong đại số giúp học sinh luyện kỹ năng biến đổi biểu thức.
- Giải bài toán đại số với điều kiện: Cho ba số ( a, b, c ) thỏa mãn ( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca ). Học sinh được yêu cầu tính giá trị biểu thức ( B = frac{a+b+2025c}{c+a+b} - frac{2025a}{c} ). Qua phân tích, ta suy ra ( a = b = c ), từ đó tính được giá trị cụ thể của biểu thức, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng sử dụng tính chất đại số.
Bài 2 (5 điểm)
- Rút gọn biểu thức: Xác định biểu thức đại số phức tạp ( P ) và rút gọn dưới dạng đơn giản, đây là kỹ năng quan trọng trong giải toán biểu thức.
- Tính giá trị biểu thức: Tính giá trị ( P ) khi ( x, y ) thỏa mãn một phương trình cho trước. Bài tập giúp học sinh áp dụng lý thuyết và kiểm chứng nghiệm của hệ phương trình.
- Tìm giá trị nhỏ nhất: Với điều kiện ( y=0 ) và ( x geq 2 ), yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của ( Q = P + x ). Bài tập rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số và tối ưu hóa trong điều kiện ràng buộc.
Bài 3 (4 điểm)
- Tìm đa thức: Cho đa thức bậc bốn thoả mãn điều kiện về giá trị dư khi chia cho các ( x - 1, x - 2, x - 3 ), xác định đa thức đó.
- Giải phương trình số nguyên: Tìm cặp số nguyên ( (x, y) ) thỏa mãn phương trình ( x^2 + y^2 + 10 = x y ). Bài tập giúp học sinh luyện kỹ năng giải phương trình và phân tích nghiệm nguyên.
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác MBC vuông tại M. Với đường thẳng vuông góc MD tại D và điểm H thuộc đoạn MD (khác M và D), dựng các đường vuông góc tại điểm B và C tạo thành các giao điểm, từ đó xác định điểm A. Học sinh được yêu cầu:
- Chứng minh tích độ dài đoạn thẳng liên quan và ba điểm thẳng hàng.
- Chứng minh góc được tạo bởi các điểm là 90 độ.
- Khi góc BAC bằng 45 độ, chứng minh diện tích tam giác và tứ giác liên quan bằng nhau.
Bài tập giúp phát triển tư duy hình học, kỹ năng chứng minh và vận dụng tính chất vuông góc, tam giác vuông.
Bài 5 (2 điểm)
Xét tam giác ABC vuông tại A, hai đường phân giác trong BD và CE cắt tại O. Yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan giữa các đoạn thẳng, đồng thời chỉ ra điều kiện xảy ra dấu đẳng thức. Bài tập phát huy kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và vận dụng tính chất phân giác trong tam giác.
Bài 6 (1 điểm)
Trong một khu rừng hình vuông cạnh 1000m trồng 4500 cây cổ thụ, cây to nhất có đường kính gốc 0,5 m. Chứng minh rằng ít nhất có 60 mảnh đất có diện tích 200 m2 không có cây cổ thụ. Đây là bài toán ứng dụng lý thuyết Dirichlet về phân bố đối tượng trong diện tích, giúp rèn luyện tư duy giải toán thực tế.
Kết luận: Đề thi tổng hợp các dạng toán đại số, hình học và bài toán thực tế, giúp học sinh lớp 8 nâng cao khả năng tư duy, giải quyết vấn đề, luyện tập các kỹ năng tính toán, chứng minh và ứng dụng kiến thức Toán học một cách hiệu quả.
