Đây là đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 8 cấp huyện, năm học 2024 – 2025, tổ chức bởi phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Ninh Giang, tỉnh Hải Dương. Đề thi dưới hình thức tự luận, gồm 05 bài toán có nội dung đa dạng, thời gian làm bài 150 phút, kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết.
Câu 1
- Phân tích đa thức thành nhân tử: (5n^3 - 5n^2 + 4n).
- Rút gọn biểu thức
[A = frac{2x^2 - 9x + 3}{5x^2 - 6x + 2} - frac{1}{3x - 2}] với (x neq 2, 3.)
Câu 2
- Cho đa thức bậc hai (f(x) = x^2 + a x + b) có nghiệm là 2 và chia hết cho biểu thức (2x - 3). Tìm hai hệ số (a, b).
- Giải phương trình:
[(x^2 - 3x + 2)(3x - 8) = 16]
Câu 3
- Tìm các cặp số nguyên ((x; y)) thỏa mãn phương trình:
[5x^2 + 6xy + 2y^2 + 2x + y - 2 = 0] - Cho các số nguyên (a, b, c, d) thỏa mãn (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2023). Chứng minh biểu thức (2025 + abcd) có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Câu 4
Xét tam giác nhọn (ABC) với các đường cao (AD, BE, CF) cùng giao nhau tại (H):
- Chứng minh tam giác (AEF) đồng dạng với tam giác (ABC).
- Chứng minh đẳng thức (AH , AE + CH , CF = AC^2).
- Chứng minh bất đẳng thức:
[frac{(AB + AC + BC)^2}{AD^2 + BE^2 + CF^2} geq 4]
Câu 5
- Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không học sinh nào có điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng có ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau, với điểm là số tự nhiên từ 0 đến 10.
- Cho hai số thực dương (x, y) thỏa mãn (x y = 1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[A = frac{3x + 3y + 4}{2x + 2y + xy}]
Đề thi tập trung vào các kiến thức về phân tích đa thức, phương trình bậc hai, tìm nghiệm nguyên, chứng minh dạng đồng dạng tam giác trong hình học, cùng các bài toán bất đẳng thức và ứng dụng thực tế trong chứng minh và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức liên quan hai biến. Các câu hỏi phù hợp để học sinh nâng cao kỹ năng vận dụng kiến thức, luyện tập phân tích, chứng minh và giải toán tự luận.
Đề thi là công cụ hữu ích giúp học sinh lớp 8 củng cố và phát triển kiến thức theo chuẩn chương trình, đồng thời chuẩn bị kỹ năng làm bài cho các kì thi học sinh giỏi cấp huyện.
