Đây là đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thị xã dành cho học sinh lớp 9 năm học 2024-2025. Đề gồm nhiều dạng bài tập giúp học sinh vừa hệ thống kiến thức vừa rèn luyện kỹ năng giải toán từ đại số đến hình học. Thời gian làm bài là 150 phút.
Bài 1: Biểu thức với điều kiện
Cho biểu thức A = (x^2 + 2x + 5)/(x^2 - 2x - 3) + (2x + 1)/(x - 2) với điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 4. Học sinh được yêu cầu rút gọn biểu thức, tính giá trị A tại x = 9/4, và tìm các giá trị x để A là số nguyên. Bài tập giúp củng cố kiến thức về phép rút gọn biểu thức đại số và tìm giá trị tích hợp điều kiện.
Bài 2: Hệ phương trình và phương trình đa thức
Phần đầu là một hệ phương trình có tham số m với hai ẩn x, y. Học sinh cần giải hệ khi m=6, cũng như xác định m để nghiệm thỏa mãn một điều kiện phức tạp hơn liên quan đến toán học. Tiếp theo là giải phương trình đa thức bậc 4 với hệ số cụ thể, yêu cầu sử dụng đại số để đặt ẩn phụ và phân tích. Phần này rèn luyện tư duy giải hệ và phương trình đa thức.
Bài 3: Bất đẳng thức và chia hết
Bài tập gồm hai phần. Phần một yêu cầu chứng minh bất đẳng thức có liên quan đến các số dương a, b với điều kiện a + b = 1, sử dụng bất đẳng thức Cô-si. Phần hai liên quan đến tính chia hết cho 6 của tổng lập phương ba số nguyên thỏa một điều kiện tổng nhất định. Đây là dạng bài tập cơ bản giúp học sinh kỹ năng chứng minh và sử dụng tính chất số học.
Bài 4: Toán thực tế với hình chữ nhật
Bài toán thực tế liên quan đến mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Học sinh phải tìm kích thước căn cứ trên điều kiện khi giảm chiều rộng và tăng chiều dài thì diện tích tăng thêm 20 m². Phương pháp giải bao gồm sử dụng biến số, thiết lập phương trình và giải để tìm chiều dài, chiều rộng. Đây là bài tập ôn luyện giải toán thực tế và lập phương trình.
Bài 5: Hình học và lượng giác
Phần đầu yêu cầu tính sin α và tan α khi biết cos α = 5/13 với góc nhọn α. Đây là bài tập áp dụng định nghĩa các hàm lượng giác và sử dụng hệ thức lượng. Phần tiếp theo là bài hình học về đường tròn tâm O, có bán kính R và đường kính AB cố định. C là điểm thay đổi trên đường tròn, kẻ CH vuông góc AB, I là trung điểm AC. Học sinh chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn và chứng minh đoạn IK song song với AB, dựa vào các tính chất hình học và định lý trung trực, trung điểm và tiếp tuyến. Đây là bài tập hình học nâng cao giúp phát triển tư duy chứng minh và vận dụng kiến thức hình học phẳng.
Nội dung đề thi không chỉ tập trung vào các kiến thức cơ bản mà còn mở rộng các dạng bài tập yêu cầu khả năng tư duy phân tích, tổng hợp và vận dụng linh hoạt kiến thức để giải quyết bài toán. Điều này rất phù hợp cho các học sinh có năng lực học tốt, giúp các em chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thị xã, cũng như nâng cao kiến thức phục vụ học tập ở các cấp cao hơn.
