Đây là đề khảo sát môn Toán chuyên dành cho học sinh lớp 9 thi tuyển vào lớp 10 năm học 2025–2026 tại Trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa. Đề thi gồm các bài tập tổng hợp nhiều chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9 theo hướng nâng cao, với thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1 (2,0 điểm)
- Phần (a) yêu cầu tính giá trị biểu thức với ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện (tfrac{1}{a} + tfrac{1}{b} + tfrac{1}{c} = 0). Đây là chủ đề liên quan đến xác định giá trị biểu thức đại số.
- Phần (b) chứng minh không tồn tại ba số nguyên phân biệt thỏa mãn các điều kiện bằng nhau của đa thức (P(x)). Đây là bài tập về đa thức và tính chất giá trị đa thức tại các số nguyên, giúp học sinh luyện kỹ năng chứng minh bất khả thi trong Toán học.
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho hệ phương trình với tham số (m), yêu cầu tìm giá trị (m) để hệ có nghiệm duy nhất. Bài toán này giúp học sinh củng cố kiến thức về hệ phương trình và phân tích nghiệm theo tham số.
Câu 3 (1,0 điểm)
Bài toán xác suất cơ bản: Có 10 bạn gồm An và Bảo, tính xác suất xếp hàng sao cho hai bạn đó đứng cạnh nhau. Đây là bài tập điển hình giúp học sinh làm quen với xác suất và các tổ hợp, làm nền tảng cho các đề thi tuyển chuyên.
Câu 4 (2,0 điểm)
- Phần (a) chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương (n) thỏa mãn tính chất đặc biệt, đây thuộc lĩnh vực số học.
- Phần (b) chứng minh phương trình đại số với số nguyên tố (p) không có nghiệm nguyên dương, giúp học sinh luyện kỹ năng chứng minh và tiếp cận kiến thức về phương trình Diophantine.
Câu 5 (3,0 điểm)
Bài tập hình học về tam giác nhọn (ABC) với các điểm và đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Học sinh cần chứng minh tính chất tiếp tuyến, các đẳng thức giữa đoạn thẳng và góc trong tam giác và các hình học phức tạp, từ đó phát triển tư duy hình học không gian và kỹ năng vận dụng kiến thức hình học vào bài toán nâng cao.
Câu 6 (1,0 điểm)
Bài toán thực tiễn liên quan đến phép toán trên dãy số nguyên từ 1 đến 2025, yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất còn lại sau loạt thao tác thay thế số. Bài toán này giúp học sinh phát triển khả năng tư duy sáng tạo và kỹ năng làm việc với tính chất chẵn lẻ trong số học.
Tài liệu đề thi được biên soạn theo cấu trúc chuẩn, các câu hỏi sắp xếp hợp lý từ kiến thức cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh hệ thống và củng cố toàn diện kiến thức Toán lớp 9, chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán.
