Đề thi khảo sát năng lực Toán lớp 9 từ trường THPT Chuyên KHTN gồm 4 câu hỏi với thời gian làm bài 120 phút. Nội dung đề bao gồm nhiều dạng bài quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Câu I (3 điểm)
Bài tập gồm hai phần: Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đại số có chứa biến x, y và giải phương trình chứa căn thức đại số.
- Dạng hệ phương trình: (begin{cases}x^2+y^2 - xy = 1 \ (x + 2y)(1 + 3y^2 + 5xy) = 27 end{cases})
- Phương trình chứa căn: (sqrt{7x^2 + 2x + 2} + |x + 1| = sqrt{6x^2 + 2} + 1)
Câu II (3 điểm)
Gồm các bài tập tìm nghiệm nguyên với hệ thức đa thức bậc ba và chứng minh bất đẳng thức với ba biến thực thỏa mãn điều kiện giới hạn.
- Tìm (x, y) nguyên thỏa mãn: (x^3 + 2y^3 + 2x^2y + y^2x + x + 2y = 3)
- Chứng minh bất đẳng thức: với (0 < x le y le z le 3), (y + z le 5), (x + y + z le 6), chứng minh (x^2 + y^2 + z^2 le 14).
Câu III (3 điểm)
Bài toán hình học về tứ giác lồi, chứng minh đồng dạng tam giác và bất đẳng thức với đoạn thẳng, áp dụng tính chất trung điểm và góc trong tam giác. Đây là dạng bài cung cấp kỹ năng chứng minh hình học nâng cao.
- Chứng minh tam giác (QDB) và (QAC) đồng dạng.
- Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến tỉ số đoạn thẳng (2 frac{AD}{BC} le frac{QD}{QC} + frac{QA}{QB}).
- Chứng minh tứ giác (ABCD) là hình thang khi (Q) nằm trong tam giác (PCD) và góc (angle QPD = angle MPC).
Câu IV (1 điểm)
Bài tập về dãy số với các điều kiện tổng của tập con và yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của số phần tử (n ge 7). Đây là bài toán thực tế giúp học sinh luyện tập kỹ năng tư duy và giải quyết bài toán tổ hợp.
