Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2024 – 2025 của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Đông Hưng gồm các bài toán nhằm kiểm tra toàn diện kiến thức và kỹ năng giải toán của học sinh.
Bài 1 (5 điểm)
- Phần 1: Cho biểu thức phức tạp với biến x, y, yêu cầu rút gọn biểu thức, tính giá trị tại x = (sqrt{2}-3) và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức được cho. Điều này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức đại số và áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị.
- Phần 2: Tính giá trị biểu thức đa thức liên quan đến x, qua đó củng cố kiến thức về phép tính đa thức và giá trị biểu thức.
Bài 2 (4 điểm)
Giải phương trình bậc hai với tham số m, yêu cầu:
- Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và chứng minh tổng nghiệm không phải là số nguyên.
- Tìm các m để hai nghiệm thỏa mãn một đẳng thức liên quan đến các biểu thức của nghiệm.
Bài tập giúp học sinh luyện tập kiến thức về phương trình bậc hai và áp dụng định lý Viète.
Bài 3 (4 điểm)
- Bài toán thực tế: Bạn Phong đi mua hàng giảm giá, với thông tin giá niêm yết và giá giảm phần trăm của áo polo và giày thể thao, yêu cầu tính giá niêm yết từng món và tính số tiền phải trả khi mua nhiều món và được giảm thêm nếu thỏa mãn điều kiện hóa đơn. Bài toán yêu cầu ra hệ phương trình để tìm giá ban đầu và áp dụng tính toán phần trăm giảm giá, rất phù hợp để vận dụng kiến thức đại số vào thực tế.
- Giải hệ phương trình: Hệ gồm hai phương trình đa thức với hai ẩn x, y, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình khó hơn, thông qua phép biến đổi đại số.
Bài 4 (6 điểm)
Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung nhỏ BC. Các yêu cầu theo từng ý:
- Chứng minh các tam giác đồng dạng, từ đó suy ra mối quan hệ về độ dài các đoạn thẳng (MA = MB + MC).
- Chứng minh tỉ lệ nghịch giữa đoạn thẳng MB, MC, MD qua giao điểm D của MA với BC.
- Chứng minh biểu thức liên quan tổng bình phương các đoạn MA, MB, MC bằng 2 lần bình phương cạnh AB.
Bài tập nâng cao hình học, kết hợp kiến thức tam giác đều và tỉ lệ hình học.
Bài 5 (1 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức tổng các thương của các bình phương với tổng hai biến khác. Áp dụng bất đẳng thức và điều kiện để tìm giá trị nhỏ nhất giúp học sinh luyện tập về bất đẳng thức và kiến thức đại số tổng quát.
Những bài tập trên được lựa chọn phù hợp để học sinh lớp 9 đánh giá năng lực qua các dạng toán đa dạng từ đại số đến hình học, bài toán thực tiễn cũng như vận dụng bất đẳng thức. Tài liệu này hữu ích cho các em ôn tập chuẩn bị thi chọn học sinh giỏi và nâng cao kiến thức về các chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 9.
