Câu 1. (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 8 + 2times15 + 7 - 4times3 - 5.
b) Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1. Tính giá trị của biểu thức:
P = frac{1}{xy+x} + frac{1}{yz+y} + frac{1}{xz+z}.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
- (x^2 + y^2) - (x + y) + 1 = 10xy
- (x+1)(y-1) = 0
b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 1/(abc) = a + b + c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = frac{a^6}{4b^4 - 4ab^3 + 3b^2} + frac{b^6}{4c^4 - 4bc^3 + 3c^2} + frac{c^6}{4a^4 - 4ca^3 + 3a^2}.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. AH cắt BC tại D. Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K.
- a) Chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp.
- b) Tính giá trị biểu thức:
γ = frac{GA^2 + GB^2 + GH^2}{GM^2 + GK^2 + GN^2}.
- c) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). AO cắt BC tại P, BO cắt AC tại Q, CO cắt AB tại T. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
℘ = AP + BQ + CT theo bán kính R.
Câu 4. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x-1)(y-1) + 3xy = y - 1.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Một hộp chứa 15 thẻ, gồm 6 thẻ xanh (đánh số 1 đến 6), 5 thẻ đỏ (1 đến 5), 4 thẻ vàng (1 đến 4). Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 thẻ vừa khác màu vừa khác số.
b) Một công ty sản xuất phân bón cần tạo hỗn hợp 500 kg với 30% potassium, dùng 2 loại nguyên liệu: loại A chứa 24% potassium và loại B chứa 40% potassium. Tính khối lượng mỗi loại cần dùng.
Giá trị thực tiễn và ứng dụng
Đề thi tập trung đánh giá kiến thức tổng hợp và kỹ năng giải toán của học sinh lớp 10, bao gồm rút gọn biểu thức, giải hệ phương trình, bất đẳng thức, hình học và toán ứng dụng thực tế. Học sinh sẽ luyện tập qua các câu hỏi từ đại số đến hình học, như chứng minh tứ giác nội tiếp, tính giá trị biểu thức phức tạp liên quan đến các đoạn thẳng và trung điểm, cũng như các bài toán thực tế như tổ hợp chọn thẻ và pha trộn nguyên liệu theo tỉ lệ phần trăm.
Những bài tập về hệ phương trình và bất đẳng thức giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, tư duy logic và vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết các bài toán định lượng thực tế. Bài hình học mang đến cơ hội rèn luyện khả năng chứng minh và sử dụng các định lý hình học cơ bản. Đề bài ứng dụng thực tế trong câu hỏi pha trộn nguyên liệu giúp học sinh hiểu và áp dụng toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn của sản xuất.
Chẳng hạn, ở câu 5a, học sinh xác định số cách chọn thẻ với hai điều kiện khác màu và không trùng số, phát triển kỹ năng tổ hợp và phân tích trường hợp. Ở câu 5b, việc tính khối lượng nguyên liệu theo tỷ lệ phần trăm potassium là bài toán tuyến tính ứng dụng, rất quen thuộc trong thực tiễn sản xuất.
Toàn bộ đề thi hỗ trợ việc ôn tập các dạng bài toán quan trọng, giúp học sinh hệ thống và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán tại tỉnh Bạc Liêu năm học 2025-2026.
