Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2025 dành cho học sinh trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội là một tài liệu quan trọng giúp học sinh luyện tập và củng cố kiến thức Toán lớp 10 ở mức độ nâng cao.
Phần Hình học
Đề thi bao gồm bài toán về tam giác cân ABC có đỉnh A và O là trung điểm cạnh BC, với góc tại A nhỏ hơn 90°. Trên tam giác này, ta xét đường tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh CA, AB lần lượt tại các điểm R và Q. Trên các cạnh CA và AB, lấy các điểm E, F không trùng với các đỉnh sao cho đoạn thẳng EF tiếp xúc với đường tròn tại điểm P và EF không song song với BC.
Các bước yêu cầu trong đề gồm:
- Chứng minh hai tam giác OHM và OKN đồng dạng và tỉ số tỷ lệ OK/OH bằng tỉ số AE/AF.
- Dựng điểm G sao cho tứ giác OHGK là hình bình hành và chứng minh các điểm O, G, P thẳng hàng.
- Phân tích các điểm phản chiếu S, T của Q, R qua BC, tìm giao điểm các đoạn thẳng SF và TE là X, giao điểm của BS và CT là D, rồi chứng minh rằng đường thẳng AX song song với PD.
Phần Đại số – Tập đặc biệt các số thực
Bài toán cho một tập hợp M các số thực phân biệt với hai tính chất đặc biệt:
- Với mọi x, y trong M (x khác y), tích xy và tổng x + y đều khác 0, và chính xác một trong hai số này là số hữu tỷ.
- Với mọi x trong M, bình phương x (x²) là số vô tỉ.
Yêu cầu tìm số phần tử lớn nhất có thể của tập M thỏa mãn các tính chất trên.
Giá trị của đề thi: Đề giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán hình học phức tạp, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy về tập hợp số thực trong phần đại số, đặc biệt là làm quen với những vấn đề về số hữu tỉ và số vô tỉ. Đây cũng là đề thi phù hợp để học sinh lớp 10 luyện tập kỹ năng chứng minh hình học, phân tích tính chất đối xứng, và tư duy biện luận logic trong đại số.
