Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026 gồm các bài tập đa dạng, giúp học sinh ôn luyện và củng cố kiến thức toàn diện. Thời gian làm bài là 150 phút.
Câu 1 (1,5 điểm)
Xét biểu thức (P = frac{frac{3}{sqrt{x}} - frac{3}{sqrt{x}} - frac{1}{3} - sqrt{x}}{sqrt{x} + frac{3}{x} - 6sqrt{x} + 9}).
- Xác định điều kiện xác định của (x) và rút gọn biểu thức (P).
- Tìm tất cả nghiệm (x) sao cho (P leq -2).
Câu 2 (2,0 điểm)
- Giải phương trình: (x^4 + sqrt{x}^2 + 3 = 3).
- Với phương trình tham số (x^2 - 2(m-1)x - m^2 - 3 = 0), tìm các giá trị (m) sao cho hai nghiệm (x_1, x_2) thoả mãn (|x_1| + 2|x_2| = 6).
Câu 3 (3,5 điểm)
Cho đường tròn ((O; R)) cố định với hai điểm cố định (A, B) trên đường tròn sao cho (AB neq 2R). Điểm (C) di động trên đường tròn sao cho tam giác (ABC) nhọn. Gọi (AD, BE, CF) là ba đường cao cắt nhau tại (H), (I) là trung điểm của (HC).
- Chứng minh tứ giác (CDHE) nội tiếp đường tròn và (OC perp DE).
- Chứng minh (ID) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác (BED).
- Chứng minh đoạn thẳng (DE) có độ dài không đổi khi điểm (C) thay đổi trên đường tròn.
Câu 4 (1,5 điểm)
Một hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút hai thẻ ngẫu nhiên và ghép thành số có hai chữ số.
- Tính xác suất biến cố số tạo thành là số nguyên tố.
- Tính xác suất biến cố số tạo thành khi chia cho 3 dư 2 và khi chia cho 7 dư 3.
Câu 5 (1,5 điểm)
- Tìm tất cả các cặp số nguyên ((x, y)) thỏa mãn phương trình ((x - y)(x + y) + x^2(1 - y) = 17 - 2y).
- Tìm các số nguyên tố (p) sao cho (frac{p+1}{2}) và (frac{p^2+1}{2}) là các số chính phương.
Đề thi được thiết kế nhằm phát triển năng lực giải quyết các bài toán từ đại số, hình học đến xác suất - thống kê, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn. Các bài toán như tìm điều kiện xác định, phương trình tham số, chứng minh hình học và tính xác suất trong đề giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học, chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên.
