A. Kiến thức cơ bản cần nắm
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Xét góc nhọn ( alpha ) trong tam giác vuông. Các tỉ số lượng giác của ( alpha ) là:
- ( sin alpha = dfrac{text{cạnh đối}}{text{cạnh huyền}} = dfrac{AB}{BC} )
- ( cos alpha = dfrac{text{cạnh kề}}{text{cạnh huyền}} = dfrac{AC}{BC} )
- ( tan alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} = dfrac{AB}{AC} )
- ( cot alpha = dfrac{cos alpha}{sin alpha} = dfrac{AC}{AB} )
Với ( alpha ) là góc nhọn, ta có: ( 0 < sin alpha, tan alpha < 1 ) và ( 0 < cos alpha, cot alpha < infty ), khi ( alpha ) tăng từ 0 đến 90 độ thì ( sin alpha ) và ( tan alpha ) tăng, ( cos alpha ) và ( cot alpha ) giảm.
2. Liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau
Với hai góc nhọn ( alpha, beta ) sao cho ( alpha + beta = 90^circ ), ta có:
- ( sin alpha = cos beta )
- ( cos alpha = sin beta )
- ( tan alpha = cot beta )
- ( cot alpha = tan beta )
3. Công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Với góc nhọn ( alpha ), các công thức quan trọng:
- ( sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 )
- ( 1 + tan^2 alpha = dfrac{1}{cos^2 alpha} )
- ( 1 + cot^2 alpha = dfrac{1}{sin^2 alpha} )
4. Giá trị tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt
- ( sin 30^circ = dfrac{1}{2}, cos 60^circ = dfrac{1}{2} )
- ( sin 45^circ = cos 45^circ = dfrac{sqrt{2}}{2} )
- ( tan 45^circ = 1 )
- ( tan 30^circ = dfrac{sqrt{3}}{3}, tan 60^circ = sqrt{3} )
5. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông được xác định theo các hệ thức:
- Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề.
- Cạnh góc vuông còn lại bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hoặc cot của góc kề.
Cụ thể:
- ( b = a cdot sin B = a cdot cos C )
- ( c = a cdot sin C = a cdot cos B )
- ( c = b cdot tan C = b cdot cot B )
Việc giải tam giác vuông là tìm các cạnh và góc chưa biết dựa trên các công thức trên.
B. Bài tập vận dụng
Bài tập gồm các câu hỏi từ tính toán cạnh, góc đến việc giải tam giác vuông, áp dụng công thức lượng giác, định lí Pythagore, cũng như các bài toán thực tế liên quan đến đo đạc độ cao, khoảng cách, các tình huống ứng dụng trong cuộc sống.
Ví dụ:
- Cho tam giác vuông ( ABC ) vuông tại ( A ), biết ( angle C = 30^circ ) và đường cao ( AH = 4 ) cm. Tính các cạnh ( AB, AC ).
- Cho tam giác ( ABC ) vuông tại ( A ), biết ( tan C = dfrac{3}{4} ) và ( BC = 20 ) cm. Tính ( AB, AC ).
- Bài toán thực tế như đo chiều cao cây, khoảng cách thuyền đến hải đăng, hoặc tính độ dài thang dựa trên các góc an toàn của thang.
Bài tập phong phú giúp học sinh luyện tập kỹ năng áp dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác để giải các bài toán hình học phẳng cũng như giải quyết các vấn đề thực tế hiệu quả.
