Đề thi thử học sinh giỏi Toán lớp 9 lần 1 năm học 2025-2026 trường THCS Mã Thành gồm 6 câu hỏi lớn với thời gian làm bài 120 phút, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán nâng cao.
Câu 1: Bài toán chứng minh (2 điểm)
- 1a: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương. Ví dụ, đặt biểu thức tổng bình phương với số lẻ có dạng ((2k+1)^2 + (2m+1)^2), chứng minh rằng biểu thức này không chia hết cho số chính phương.
- 1b: Chứng minh biểu thức (A = 3^{2n+1} + 2) là hợp số với mọi số nguyên dương (n) bằng cách xét tính chia hết cho các số nguyên tố 5, 11.
Câu 2: Phương trình và hệ phương trình (6 điểm)
- 2a: Giải phương trình bậc hai có dạng đặc biệt và phân tích hai trường hợp nghiệm.
- 2b: Giải phương trình đa thức sử dụng phép đặt ẩn phụ và phân tích thành tích để tìm nghiệm.
- 2c: Giải hệ phương trình gồm hai phương trình phối hợp với điều kiện hệ số bậc hai, có 3 nghiệm cụ thể được tìm ra.
Câu 3: Đa thức và tính tổng (1 điểm)
Tính giá trị tổng (fleft(frac{1}{2025}right) + fleft(frac{2}{2025}right) + ... + fleft(frac{2024}{2025}right)) với đa thức cho trước (f(x) = frac{x^3}{1-3x+3x^2}) sử dụng đặc tính đối xứng (x + y = 1).
Câu 4: Toán thực tế (3 điểm)
- 4a: Bài toán lãi suất kép với mức 6%/năm trong 2 năm giúp học sinh áp dụng kiến thức vào thực tiễn để tìm số tiền gửi ban đầu của ông A dựa trên số tiền nhận được sau 2 năm.
- 4b: Bài toán xác suất: Tính số lượng bi màu đỏ và xanh trong túi 48 viên bi dựa trên tỉ lệ xác suất lấy được bi đỏ bằng 92% xác suất lấy bi xanh.
Câu 5: Hình học nâng cao (7,5 điểm)
- 5a: Chứng minh công thức liên quan đến diện tích tam giác và mối quan hệ giữa các góc trong tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại H.
- 5b: Chứng minh đẳng thức góc dạng (widehat{FED} = widehat{FOD}) sử dụng tính chất tam giác cân và tỷ lệ các góc.
- 5c: Chứng minh bất đẳng thức về cotang các góc của tam giác (cot^2 A + cot^2 B + cot^2 C geq 1) và giải thích khi nào đạt dấu bằng (tam giác đều).
- 5d: Tìm điều kiện tam giác ABC để thỏa mãn đẳng thức chứa tổng các đoạn thẳng liên quan đến chân đường cao bằng một biểu thức dựa trên cạnh tam giác.
Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức (0,5 điểm)
Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa biến (x) và (y) với đa thức bậc hai và hệ số số học cụ thể.
Đề thi này giúp học sinh lớp 9 cải thiện kiến thức toán học nâng cao, luyện tập kỹ năng chứng minh, giải phương trình đa dạng, vận dụng vào bài toán thực tế và hình học không gian. Sự phân bổ điểm rõ ràng theo từng phần cũng hỗ trợ học sinh ôn tập có trọng tâm, làm quen với cấu trúc đề thi học sinh giỏi chuẩn.
