Đề thi chọn học sinh giỏi cấp xã lớp 9 năm học 2025-2026 môn Toán được xây dựng với các câu hỏi đa dạng, tập trung kiểm tra kiến thức và khả năng vận dụng của học sinh trong nhiều chủ đề.
Câu 1 (2,5 điểm): Đại số và số học
- Phần a: Tìm số tự nhiên (n) để biểu thức (A = n^3 - n^2 - 7n + 10) là số nguyên tố. Đây là bài toán liên quan đến đa thức và tính chất số nguyên tố, yêu cầu học sinh vận dụng phép phân tích đa thức và kiểm tra các trường hợp.
- Phần b: Chứng minh với các số nguyên (a,b,c) sao cho (a^3 + b^3 + c^3) chia hết cho 3 thì biểu thức (2025 + a + b + c) cũng chia hết cho 3. Bài yêu cầu vận dụng kiến thức về chia hết và tính chất luỹ thừa.
- Phần c: Cho hai số tự nhiên (a,b) thỏa mãn (a^2 + 2025 = b^2 + 2026). Chứng minh rằng (2025 + a + b + 1) là số chính phương. Đây là bài toán chứng minh về số chính phương dựa trên điều kiện cho trước.
Câu 2 (6 điểm): Phương trình và hệ phương trình
- Phần a: Giải phương trình lập phương ((5x + 2025)^3 - (2x + 2026)^3 = (3x - 1)^3), yêu cầu vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ và khai triển để giải.
- Phần b: Giải hệ phương trình (begin{cases} x + y + xy + 1 = 0 \ 3x - 2y = 22 end{cases}), học sinh cần biến đổi và sử dụng các phép biến đổi đại số để tìm nghiệm.
Câu 3 (1,5 điểm): Toán ứng dụng – Tối ưu hoá doanh thu
Một công ty du lịch tổ chức tour xuyên Việt với giá ban đầu 2 triệu đồng cho 150 khách. Mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng sẽ có thêm 20 khách. Học sinh được yêu cầu tìm lượng giảm giá sao cho doanh thu lớn nhất. Bài toán này giúp rèn luyện kỹ năng xây dựng hàm số, tính đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai.
Câu 4 (2 điểm): Xác suất – Tính số lượng trong túi bi
Trong túi có 48 viên bi màu đỏ và xanh. Xác suất lấy viên bi đỏ bằng 92% xác suất lấy viên bi xanh. Tính số viên bi mỗi màu. Bài tập này kiểm tra kiến thức về xác suất và phương trình đơn giản.
Câu 5 (7 điểm): Hình học phẳng – Tam giác vuông và các tính chất
Cho tam giác vuông tại A, với các điều kiện và các điểm đặc biệt như chân đường vuông góc, giao điểm của các đường đặc biệt trong tam giác. Các yêu cầu bao gồm chứng minh trung điểm, tỉ số đoạn thẳng, sử dụng định lý Thales và tính chất đường cao trong tam giác vuông. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng chứng minh và vận dụng các định lý cơ bản.
Câu 6 (1 điểm): Tổ hợp và màu sắc trên đa giác đều
Cho đa giác đều 2025 cạnh, các đỉnh được sơn hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại tam giác cân gồm 3 đỉnh cùng màu. Đây là bài toán kết hợp hình học và tổ hợp, giúp phát triển tư duy lập luận và kỹ năng chứng minh.
Đề thi tổng hợp nhiều dạng bài giúp học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức quan trọng và luyện giải các bài toán nâng cao, hỗ trợ ôn luyện hiệu quả cho kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp xã.
