Bài thi gồm 5 câu, tổng điểm 20, thời gian làm bài 150 phút. Nội dung bài thi bao gồm nhiều dạng toán đại số và hình học nâng cao, phù hợp cho học sinh giỏi lớp 9.
Câu 1 (3 điểm)
- Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình x + xy = y + 4.
- Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 là số nguyên tố và A = 2n + 7 là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 2 (6 điểm)
- Rút gọn biểu thức phức tạp liên quan đến biến x.
- Giải phương trình bậc hai x^2 - x - 30 = 0.
- Giải hệ phương trình liên quan đến các biến x và y có mẫu biểu thức phân số.
Câu 3 (3 điểm)
- Tính giá trị đa thức P = 3x^3 + 4x^2 - 8x + 1 khi biết x^2 + x - 3 = 0.
- Tính xác suất bài toán bốc thẻ với các thẻ mang số khác nhau từ 1 đến 8, chọn ngẫu nhiên 2 thẻ là số chẵn.
- Xác định vị trí điểm E trên cạnh AB sao cho diện tích hình vuông EFGH nhỏ nhất trong hình vuông ABCD cạnh 30m.
Câu 4 (6 điểm)
- Chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến hình thang AB, CD song song, các đoạn thẳng song song và các tích đoạn thẳng.
Câu 5 (2 điểm)
- Bài toán lý thuyết về điểm số của 6 thí sinh trong một kỳ thi Toán, chứng minh tồn tại ít nhất 2 thí sinh cùng điểm.
Bài thi này giúp học sinh lớp 9 nâng cao kỹ năng giải bài tập khó và luyện tư duy toán học qua các dạng bài tập phong phú như đại số, xác suất, hình học và bài toán thực tiễn.
