Kính gửi các thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11, bài viết sau đây là đề cương hướng dẫn ôn tập học kỳ 2 môn Toán năm học 2021-2022, được xây dựng trên nền tảng chương trình đã học tại trường Trung học Phổ thông Vinschool, Hà Nội. Tài liệu sẽ tập trung vào những kiến thức trọng tâm cùng các bài tập minh họa đi kèm để giúp các em chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi sắp tới.
I. Kiến thức trọng tâm
- Giới hạn dãy số:
- Khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số và định lý về giới hạn hữu hạn.
- Giới hạn vô cực của dãy số.
- Giới hạn hàm số:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm cũng như tại vô cực.
- Giới hạn vô cực của hàm số.
- Giới hạn hàm số dạng vô định.
- Hàm số liên tục:
- Hàm số liên tục tại một điểm.
- Hàm số liên tục trên một khoảng.
- Đạo hàm và ứng dụng:
- Đạo hàm của các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm số lượng giác.
- Ý nghĩa của đạo hàm, cách viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
- Đạo hàm cấp hai và ứng dụng.
- Vectơ trong không gian:
- Tính chất của vectơ trong không gian.
- Quy tắc trung điểm, trọng tâm, hình bình hành, ba điểm trong phép cộng, trừ vectơ.
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ cho trước.
- Quan hệ vuông góc trong không gian:
- Các kiểu vuông góc: giữa hai đường thẳng; đường thẳng với mặt phẳng; hai mặt phẳng với nhau.
- Góc giữa hai đường thẳng; đường thẳng và mặt phẳng; hai mặt phẳng.
- Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến một mặt bên; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có quan hệ vuông góc.
II. Bài tập minh họa
A. Phần tự luận
Chủ đề 1. Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số
Bài 1. Tính giới hạn các dãy số sau đây:
- a) (lim_{n to infty} frac{3n^2 - 2n + 1}{2n^2 + n})
- b) (lim_{n to infty} frac{2n^3 + 3n^2 + 2}{2n^3 - 3n + 2})
- c) (lim_{n to infty} frac{3n^3 + 4n - 1}{3n^3 + 4n + 1})
- d) (lim_{n to infty} frac{2n + 1}{3.4n - 5.2n + 3.4})
- e) (lim_{n to infty} (4 - 1/2^n + 2n))
Bài 2. Tính các giới hạn hàm số:
- a) (lim_{x to 3} (3x^2 - x + 1))
- b) (lim_{x to 1^-} frac{3x + 2}{x + 1} )
- c) (lim_{x to +infty} frac{3x + 4}{2x + 3} )
- d) (lim_{x to 1} frac{x^2 - 1}{x - 1} )
- e) (lim_{x to 1} frac{x+2 - 3}{sqrt{x} - 1} )
Bài 3. Tính giới hạn khi (x to +infty):
- a) (lim_{x to +infty} (x^3 - 2x^2 + 2x - 1))
- b) (lim_{x to +infty} frac{x^2 + 3x + 4}{3x + 2} )
- c) (lim_{x to +infty} frac{3x^3 + 4x^2 + 5}{3x^4 + 4x + x^2} )
- d) (lim_{x to -infty} frac{2x^5 - x^2 + 3x}{x^2 - 1} )
- e) (lim_{x to +infty} (x^2 + 1 - x - 1))
Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số [ f(x) = begin{cases} frac{x^2 - 5x + 3}{3x - 3}, & x neq 3 \ k, & x = 3 end{cases} ] tại điểm (x=3).
Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số [ f(x) = begin{cases} 5x - 2, & x > -1 \ frac{1}{2x + 1}, & x leq -1 end{cases} ] trên tập xác định.
Bài 6. Tìm giá trị (m) để hàm số [ f(x) = begin{cases} frac{x^2 + 2x - 1}{2x + m}, & x > 2 \ m, & x leq 2 end{cases} ] liên tục tại điểm (x=2).
Bài 7. Chứng minh các phương trình sau có số nghiệm theo yêu cầu:
- a) Phương trình (4x^2 + 2x - 3 = 0) có ít nhất hai nghiệm.
- b) Phương trình (3x^3 - 4x^2 + 8x - 1 = 0) có 3 nghiệm trong khoảng ((-2; 2)).
- c*) Phương trình (5x^3 - 4x^2 + x - 1 = 0) có đúng 5 nghiệm.
Chủ đề 2. Đạo hàm của hàm số và ứng dụng
Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
- a) (y = 3x^2 + 4x + x^3)
- b) (y = (5x + 3)(x^2 + 2x))
- c) (y = frac{6x^2 - 5x + 2}{2x + 4})
- d) (y = 3x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 4x + 3)
- e) (y = 10 - (1 + 2x)^3)
- f) (y = frac{3x + 1}{x + 2} )
- g) (y = 4x + 5x^2)
- h) (y = x + 1)
- i) (y = sin x + cos y)
- j) (y = tan x - cos y)
- k) (y = sin x^2 + 3 cos 2x)
- l) (y = 2 sin x cdot cos 3x)
- m) (y = tan frac{3pi}{4} x)
- n) (y = 5 sin y)
- o) (y = 4 sin frac{pi}{2} x)
Bài 9. Giải các bất phương trình liên quan đến dấu đạo hàm:
- a) (y' geq 0) với (y = 3x^2 - 2x + 3)
- b) (y' < 0) với (y = frac{2x^2 + 1}{x - 1})
- c) (f'(x) > g'(x)) với (f(x) = 3x^2 - 2x), (g(x) = 3x^2 + 2x)
Bài 10. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:
- a) (f(x) = 2x^4 - 2x^3 + 3x^2)
- b) (f(x) = sin x)
- c) (f(x) = cos x)
Bài 11. Cho hàm số (f(x) = frac{x+1}{x^3 - 1}) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
- a) Tiếp điểm có hoành độ bằng 2.
- b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3.
- c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4.
- d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d: x - y + 1 = 0).
- e) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Delta: 4x - y = 0).
Bài 12. Một chất điểm chuyển động theo quy luật (s(t) = 6t^3 - 9t^2 + t - 1), trong đó (s) tính theo mét, (t) theo giây.
- a) Tính vận tốc tức thời tại thời điểm (t = 5s).
- b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm (t = 6s).
- c*) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của vận tốc trong 5 giây đầu.
Bài 13 - 14. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và tính chất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Chủ đề 3. Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 15. Cho hình chóp đều (S.ABCD) với cạnh đáy bằng (a) và (O) là giao điểm của (AC) và (BD). Gọi (K) là trung điểm của (BC).
- a) Chứng minh ((SO) perp (SBC)).
- b) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
- c) Tính khoảng cách từ (O) đến mặt phẳng ((SBC)).
- d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (AD) và (SC).
Bài 16 đến 20. Các bài toán liên quan đến hình chóp, hình lăng trụ, khoảng cách giữa các đường thẳng, góc giữa các mặt phẳng và các tính chất hình học trong không gian được đưa ra đầy đủ cùng hướng dẫn phân tích, tính toán chi tiết.
Bài 21 đến 80. Nội dung đa dạng bao gồm các bài tập trắc nghiệm và tự luận về kiến thức đại số, khảo sát hàm số, đạo hàm, vectơ và hình học không gian. Các câu hỏi được phân loại theo độ khó từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng và vận dụng cao, giúp học sinh luyện tập toàn diện.
Chú ý: Các em hãy tập trung làm quen với các dạng bài, nắm vững khái niệm lý thuyết cũng như cách vận dụng lý thuyết để giải các bài tập minh họa trong tài liệu. Đây là cơ sở vững chắc cho việc ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi học kỳ 2 cũng như các bài kiểm tra giữa kỳ.
