Trong chương trình Toán lớp 12, phần hình học không gian đặc biệt chú trọng đến việc tính toán thể tích các khối đa diện, trong đó tỷ số thể tích giữa những phần của hình là chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Dưới đây là tài liệu tổng hợp một số dạng bài toán cơ bản và nâng cao cùng với lời giải chi tiết, giúp các em học sinh và thầy cô có thể ôn tập, luyện giải hiệu quả.
Dạng 1: Tỷ số liên quan đến diện tích đáy và đường cao
- Mức 1: Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V, gọi M là trung điểm của BC. Yêu cầu tính thể tích khối chóp S.ABM.
- Mức 2: Trong hình chóp S.ABC có thể tích V, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Hỏi thể tích khối chóp S.AMN bằng bao nhiêu?
- Mức 3: Hình chóp S.ABC có thể tích V, M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, AB, AC. Tính thể tích khối chóp M.ANP.
- Mức 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với tâm O, thể tích là V. Thể tích khối chóp S.ABO bằng bao nhiêu?
- Mức 5: Tương tự như trên, M là trung điểm SA. Tính thể tích khối chóp M.ABO.
Dạng 2: Tỷ số thể tích khối chóp tam giác
- Mức 1: Cho hình chóp S.ABC thể tích V, M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. Hỏi thể tích khối chóp S.MNP là bao nhiêu?
- Mức 2: Với hình chóp S.ABC và các điểm M, N, P như trên, xác định thể tích khối đa diện MNPCBA.
- Mức 3: Từ hình chóp S.ABC thể tích V, M, N là trung điểm SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN.
- Mức 4: Tính thể tích khối chóp A.MNCB với M, N là trung điểm SB, SC trong hình chóp S.ABC có thể tích V.
Dạng 3: Tỷ số thể tích khối chóp tứ giác
- Mức 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, thể tích V. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ.
- Mức 2: Với hình chóp như trên, M, N là trung điểm SA, SB. Tính thể tích khối chóp S.MNCD.
Dạng 4: Tỷ số thể tích khối lăng trụ
- Mức 1: Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích khối chóp A’.ABC.
- Mức 2: Tính thể tích khối chóp A’.B’C’CB trong lăng trụ ABC.A’B’C’ thể tích V.
- Mức 3: Gọi M, N lần lượt là trung điểm BB’, CC’, tính thể tích khối chóp A’.B’C’NM.
- Mức 4: Với M, N, P là trung điểm AA’, BB’, CC’, xác định thể tích khối A’B’C’.MNP.
- Mức 5: Gọi M là trung điểm BB’, tính thể tích khối chóp M.A’B’C’.
- Mức 6: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối chóp A’.ABC.
- Mức 7: Tính thể tích khối tứ diện BDA’C’ trong khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V.
- Mức 8: Với M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, tính thể tích khối đa diện A’B’C’D’.QMNP.
- Mức 9: M, N là trung điểm AA’, BB’. Tính thể tích khối đa diện A’B’NMDCC’D’.
Dạng 5: Một số bài toán khác
- Mức 1: Tam giác ABC đều, cạnh a. Dựng AA’, BB’, CC’ vuông góc với mặt phẳng (ABC), với AA’ = 3a, BM = CN = a. Tính thể tích khối đa diện A’ABCNM.
- Mức 2: Tam giác ABC đều cạnh a, dựng AA’, BB’, CC’ vuông góc với (ABC), AA’ = 4a, BM = 2a, CN = (frac{4a}{3}). Tính thể tích khối đa diện A’ABCNM.
Lời giải chi tiết: Mỗi dạng bài trên đều được hướng dẫn giải chi tiết trong tài liệu với các bước phân tích công thức thể tích dựa trên mối quan hệ giữa các điểm trung điểm, diện tích đáy và chiều cao. Các kết quả về tỷ số thể tích được chứng minh chặt chẽ và áp dụng cho từng trường hợp cụ thể nhằm giúp các em học sinh luyện tập hiệu quả và nắm vững kiến thức.
Ví dụ, đối với hình chóp S.ABC có thể tích V, khi M là trung điểm BC thì thể tích khối chóp S.ABM thường là (frac{1}{2} V) do cơ sở diện tích đáy đã giảm một nửa. Hay trong trường hợp hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, thể tích khối chóp S.ABO bằng một phần tư thể tích khối chóp S.ABCD. Các bài còn lại có cách tính tương tự dựa trên tỉ lệ các đoạn trung điểm và diện tích đáy.
Thầy/cô thấy làm quen với dạng bài có tỷ số thể tích này rất hữu ích khi thi THPT Quốc gia vì thường xuyên xuất hiện dưới nhiều hình thức. Nắm vững các cách tính thể tích và tỷ số thể tích sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.
