Mình nhận thấy dạng toán tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng là một trong những dạng câu hỏi thường gặp trong các đề thi thử và đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán. Đây cũng là một dạng bài khá hay và nhiều bạn học sinh còn bỡ ngỡ khi làm. Vì vậy, hôm nay thầy/cô sẽ cùng các em nhìn lại cách giải chi tiết thông qua bài toán mẫu dưới đây để các em nắm chắc hơn phương pháp và tránh nhầm lẫn.
A. BÀI TẬP MẪU
Cho khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = a. Giao điểm góc giữa các mặt phẳng được cho với góc SBA = góc SCA = 90°, đồng thời góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60 độ. Yêu cầu tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Chúng ta sẽ cùng xem kỹ phương pháp giải nhé.
Cách 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
- Dạng toán: Tính thể tích khối chóp khi biết góc giữa hai mặt phẳng.
- Phương pháp chung: Tìm đường cao của khối chóp và vận dụng thông tin về góc giữa các mặt phẳng để xác định các độ dài cần thiết.
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Tìm đường cao của khối chóp. Các em cần suy luận dựa trên các quan hệ vuông góc giữa các đoạn thẳng với nhau, chứng minh sự vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc có thể dựng thêm các hình phụ để xác định đường cao chính xác.
- Bước 2: Khai thác giả thiết về góc giữa hai mặt phẳng.
- Cần xác định rõ góc giữa hai mặt phẳng, chú ý tránh nhầm lẫn với góc giữa hai đường thẳng cắt nhau vì góc này không thể lớn hơn 90 độ.
- Chọn ẩn phù hợp (dịch sang chiều cao khối chóp hoặc cạnh đáy nếu chưa biết) rồi sử dụng giả thiết góc để giải phương trình tìm ẩn đó.
- Ngoài ra, có thể dùng thêm các phương pháp khác như phương pháp tính khoảng cách hoặc dùng diện tích các mặt bên để tìm góc làm căn cứ cho tính toán.
Cách 2: Xác định trực tiếp đường cao của khối chóp
- Dạng toán: Tính thể tích khối chóp gắn với thông tin về góc giữa hai mặt phẳng.
- Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: ( V = frac{1}{3} times S_{đáy} times chiều cao ).
Hướng giải:
- Bước 1: Gọi H là hình chiếu (chân đường cao) kẻ từ đỉnh S xuống mặt đáy. Khi đó, tứ giác ABHC có thể xem là hình vuông.
- Bước 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC), từ đó suy ra độ dài đường cao SH.
- Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp với các số liệu đã tìm được.
B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Kiến thức về cách xác định góc giữa các mặt phẳng trong không gian rất quan trọng, đặc biệt là khi áp dụng vào các bài toán tính thể tích khối chóp trong đề thi THPT Quốc gia. Vì vậy, các em luyện tập thêm các bài tập có kết hợp giả thiết về góc để nâng cao kỹ năng và sự nhạy bén trong hình học không gian.
Thầy/cô hy vọng cách trình bày rõ ràng, dễ theo dõi này sẽ giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi sắp tới nhé!
