Trong chương trình Toán lớp 12, việc áp dụng kỹ thuật truy hàm để tính diện tích hình phẳng là một chủ đề rất thiết thực, giúp các em phát triển khả năng vận dụng tích phân trong các bài toán hình học phức tạp. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể để các em làm quen và nâng cao kỹ năng giải toán dạng này.
Bài tập 1: Tính chi phí làm sân chơi trong khu vui chơi gia đình
Một hộ gia đình thiết kế khu vui chơi có dạng hình chữ nhật với kích thước chiều rộng AD = 40 m và chiều dài AB = 50 m. Trong đó, phần tô màu đậm là khu vực trồng hoa, phần còn lại dành làm sân chơi. Đường biên khu vực trồng hoa là một đường cong (C), được xác định bởi các điểm M sao cho tích khoảng cách từ M đến hai cạnh AB và AD luôn bằng 20 m. Bài toán yêu cầu tính số tiền cần chi cho sân chơi, biết chi phí trồng hoa là 200.000 đ/m² và chi phí làm sân chơi là 350.000 đ/m².
Hướng dẫn giải: Việc xác định diện tích khu trồng hoa và sân chơi dựa trên hình chữ nhật và đường cong (C) - tập hợp các điểm M có tích khoảng cách đến AB và AD bằng 20. Các em sẽ áp dụng kỹ thuật truy hàm để xác định diện tích phần dưới đường cong, từ đó tính diện tích sân chơi bằng diện tích hình chữ nhật trừ phần trồng hoa. Cuối cùng, nhân diện tích sân chơi với chi phí làm sân để ra tổng số tiền cần dùng.
Bài tập 2: Tính diện tích bông hoa trên viên gạch lát sàn
Thiết kế hoa văn trên viên gạch vuông cạnh 1 m có phần giữa là một bông hoa được giới hạn bởi đường cong (L). Giả sử M và N là hai điểm nằm trên hai cạnh kề nhau của viên gạch với MN = 1 m, và đoạn MN cắt đường cong (L) tại điểm P sao cho PM = 2PN.
Hướng dẫn giải: Từ điều kiện về tỷ lệ đoạn MP và PN, các em có thể xác định vị trí đường cong (L) trong viên gạch, sau đó dùng kỹ thuật truy hàm để tính diện tích bông hoa – phần gạch sọc. Kết quả cần làm tròn đến hai chữ số thập phân.
Bài tập 3: Tính tổng diện tích các miền hoa văn trên viên gạch hình vuông cạnh 40 cm
Viên gạch lát nền có hoa văn do học sinh lớp 12 thiết kế, gồm các miền S1, S2, S3, S4 được tạo bởi các đường cong (L1), (L2) và cạnh viên gạch. Đường (L1) là tập hợp điểm M thỏa mãn MA = (sqrt{2} d(M; Delta)), với A là trung điểm một cạnh và (Delta) là đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Đường (L2) đối xứng với (L1) qua trục Ox. Bài toán yêu cầu tính tổng diện tích S1 + S2 + S3 + S4 và làm tròn đến hàng đơn vị của cm².
Hướng dẫn giải: Việc xác định diện tích các miền này yêu cầu vận dụng kỹ thuật truy hàm kết hợp với kiến thức về khoảng cách điểm đến đường thẳng và đối xứng mặt phẳng. Các em áp dụng tỷ lệ và đối xứng đã cho để thiết lập các hàm cần tính tích phân, sau đó cộng các diện tích lại để ra đáp số cuối cùng.
Những bài tập này không chỉ giúp các em làm quen với việc áp dụng truy hàm để giải các bài toán hình học thực tiễn mà còn nâng cao khả năng tư duy, phân tích và vận dụng kiến thức tổng hợp để xử lý các vấn đề trong đề thi THPT Quốc gia hoặc kiểm tra chuyên đề.
