Bộ tài liệu này do thầy Nguyễn Xuân Chung biên soạn gồm 56 trang, tập hợp các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm về chủ đề mũ và lôgarit với mức độ vận dụng cao. Nhiều bạn có thể gọi đây là mũ và lôgarit nâng cao hoặc mũ và lôgarit khó – dành cho những ai muốn thách thức kỹ năng giải toán của mình. Đặc biệt, tài liệu có đầy đủ đáp án, lời giải chi tiết và các bình luận sau mỗi bài toán, giúp các em hiểu được cách tư duy, hướng tiếp cận để giải quyết các bài toán phức tạp thuộc chương trình Giải tích lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia.
Nội dung được chia làm ba phần chính:
- Phần 1: Các câu hỏi và bài tập được trích từ các đề thi THPT Quốc gia chính thức, đề minh họa và đề tham khảo trong những năm gần đây của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Phần 2: Các câu hỏi và bài tập lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán do các trường THPT và Sở Giáo dục trên cả nước tổ chức.
- Phần 3: Một số câu hỏi và bài tập tương tự để các em có thêm điều kiện rèn luyện, nâng cao kỹ năng giải toán về mũ và lôgarit.
Các em cùng thầy điểm qua một số ví dụ trong tài liệu nhé:
Cho phương trình: 2^x = sqrt{m cdot 2^x cdot cos(pi x) - 4} với m là tham số thực. Gọi m0 là giá trị của m để phương trình có đúng một nghiệm thực. Mệnh đề nào dưới đây là đúng về m0?
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 3 + lnleft(frac{x+y+1}{3xy}right) = 9xy - 3x - 3y. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R với đồ thị hàm số được cho (đã có sẵn trong tài liệu). Xác định bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho phương trình f(2 log_2 x) = m có nghiệm duy nhất trên đoạn [1/2; 2).
Đồ thị hàm số y = f(x) là hình ảnh đối xứng qua điểm I(1;1) của đồ thị hàm y = a^x (với a > 0 và a ≠ 1). Tính giá trị của biểu thức fleft(2 + log_a frac{1}{2018}right).
Những bài toán này đều thuộc dạng khó, vì các số mũ trong lũy thừa thường chứa biểu thức phức tạp. Nếu giữ nguyên để khảo sát, các em sẽ gặp khó khăn khi phải kiếm đạo hàm, tìm nghiệm, lập bảng biến thiên… tạo nên nhiều bước tính toán phức tạp. Lúc này, ta nên áp dụng phương pháp đánh giá để giảm độ phức tạp bài toán. Thật ra, đạo hàm là công cụ mạnh trong giải Toán hàm số, nhưng trong một số trường hợp đặc biệt như thế này lại cần linh hoạt suy nghĩ.
Các em thử tưởng tượng bài toán này có thể xuất hiện trong kỳ thi Olympic Toán? Thế nên làm quen dạng đề này rất có lợi khi các em luyện thi nâng cao hoặc thi các trường chuyên, lớp chọn.
Ví dụ giải bài toán có tham số m trong đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo
Xét phương trình:
( left(m + 3 right) 2^x - m 2^{-x} - 6 = 3 , 2^x )
Câu hỏi: Tìm tập tất cả giá trị thực của m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Phân tích phương trình: Đặt hàm số
( f(x) = (m + 3) 2^x - m 2^{-x} - 6 - 3 2^x )
Ta biến đổi như sau:
[ f(x) = (m + 3) 2^x - m 2^{-x} - 6 - 3 2^x = left[ (m+3) - 3 right] 2^x - m 2^{-x} - 6 = m 2^x - m 2^{-x} - 6. ]
Ta xét hàm số này trên khoảng (0,1), chú ý hàm liên tục và đạo hàm của hàm sẽ giúp định hướng để khảo sát nghiệm theo tham số m.
Hướng dẫn: Với các bài toán chứa tham số m, nếu các em cô lập được m, hoặc chuyển sang dạng đa thức bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ, thì việc biện luận nghiệm theo m sẽ thuận tiện hơn rất nhiều.
Ứng dụng máy tính cầm tay Casio hoặc Vinacal ở chế độ khảo sát hàm số, ta có thể kiểm tra dấu và số nghiệm trên khoảng đã cho.
Qua phân tích, ta chọn tập giá trị m phù hợp đáp ứng điều kiện bài toán.
