Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm học 2024-2025 do Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Chí Linh tổ chức gồm 6 câu hỏi với thời gian làm bài 150 phút, cung cấp bài tập hệ thống kiến thức đa dạng, từ đại số đến hình học.
Câu 1 (2 điểm)
- Rút gọn biểu thức đại số phức tạp chứa các biến x, y với điều kiện đặc biệt.
- Xác định giá trị biểu thức liên quan đến ba số a, b, c thỏa mãn hệ đẳng thức cho trước và tính toán biểu thức nâng cao.
Câu 2 (2 điểm)
- Giải phương trình đa thức bậc cao có dạng tích và các biểu thức chứa x.
- Phân tích đa thức f(x) với các điều kiện chia hết và xác định giá trị của các biểu thức liên quan, giúp rèn luyện kỹ năng đa thức và phép chia đa thức.
Câu 3 (2 điểm)
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình có dạng liên quan đến bình phương và tổ hợp các số nguyên.
- Xác định các số tự nhiên n sao cho biểu thức đa thức là số nguyên tố, giúp tăng cường tư duy số học và lý thuyết số.
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A với kích thước AB < AC. Gọi AD là tia phân giác của góc BAC, từ D kẻ các đường vuông góc tới AB và AC tạo ra các điểm M, N trên các cạnh. Giao điểm các đoạn thẳng BN và DM là E, CM và DN là F.
- Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và đoạn EF song song với cạnh BC.
- Chứng minh hai tam giác ANB và NFA đồng dạng, vận dụng kiến thức hình học về tam giác đồng dạng và các tính chất đối xứng.
- Xác định vị trí các điểm P trên đoạn AN và Q trên đoạn AM sao cho đoạn AP bằng MQ, nhằm tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác MQPN. Đây là bài toán hình học phức tạp, áp dụng kiến thức về diện tích và biến đổi hình học.
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho 33 điểm phân bố trong tam giác đều có diện tích 1, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc 33 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn /16. Bài toán dựa trên nguyên lý Dirichlet và kiến thức hình học tổ hợp.
Câu 6 (1 điểm)
Xét hai số a, b khác 0 thỏa mãn đẳng thức liên quan đến bình phương các biến và tích. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = ab + 2024. Phần này giúp phát triển kỹ năng biến đổi đại số và cực trị biểu thức.
Đề thi được thiết kế nhằm giúp học sinh lớp 8 hệ thống lại kiến thức, phát triển kỹ năng giải toán đại số và hình học ở mức nâng cao, phù hợp để ôn luyện thi học sinh giỏi và các kỳ thi tuyển chọn. Các câu hỏi đều có lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm cụ thể cho giáo viên và học sinh tiện theo dõi và thực hành.
