Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 8 năm học 2024-2025 tại huyện Kim Thành gồm 5 câu hỏi tự luận, thời gian làm bài 120 phút. Đề tập trung kiểm tra kiến thức sâu về đại số, hình học và tư duy logic thông qua các bài tập có mức độ vận dụng cao.
Câu 1
- Cho biểu thức phức tạp liên quan đến biến x với điều kiện không bằng 0, tìm cách rút gọn biểu thức và các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
- Tìm đa thức f(x) thỏa mãn các điều kiện chia cho các nhị thức bậc nhất với số dư nhất định và phép chia đa thức cho đa thức bậc hai có thương và số dư cho trước.
Câu 2
- Giải phương trình có dạng tổng các phân thức với mẫu số bậc nhất khác nhau, yêu cầu sử dụng phương pháp quy đồng mẫu số và biến đổi đại số hợp lý.
- Giải hệ phương trình dạng hỗn hợp gồm phương trình đa thức và phương trình tích, đề nghị tìm nghiệm thực phù hợp.
Câu 3
- Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn một đẳng thức đa thức bậc hai kết hợp với tích và tổng biến đổi.
- Với các số nguyên x, y, z cho trước, chứng minh điều kiện chia hết liên quan đến các biểu thức tổng và hiệu ứng dụng trong số học modulo.
Câu 4
- Chứng minh công thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông bằng các tính chất lượng giác cơ bản.
- Với tam giác có ba góc nhọn và các đường cao cắt nhau, chứng minh tính đồng dạng của tam giác con và các hệ quả về độ dài đoạn thẳng và vị trí các điểm trung điểm, giao điểm của các đoạn thẳng trong tam giác.
Câu 5
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa các số thực a, b với ràng buộc, áp dụng bất đẳng thức đại số và các tính chất đặc biệt.
Đề này rất phù hợp cho học sinh lớp 8 muốn luyện tập chuyên sâu nhằm nâng cao kỹ năng giải các dạng toán nâng cao, đồng thời hỗ trợ giáo viên xây dựng kế hoạch ôn tập hiệu quả cho học sinh chuẩn bị các kỳ thi học sinh giỏi hoặc khảo sát chất lượng học tập.
