Câu 1 (3 điểm):
a) Một số chính phương gồm bốn chữ số là mật khẩu của anh Bình. Khi bớt đi mỗi chữ số một đơn vị, số mới vẫn là số chính phương có bốn chữ số. Tìm số mật khẩu đó.
b) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho 6. Chứng minh biểu thức M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz chia hết cho 6.
Câu 2 (3 điểm):
a) Trong bài thi trắc nghiệm môn Toán có 50 câu, mỗi câu 4 lựa chọn và đúng được 0,2 điểm. Học sinh chắc chắn trả lời đúng 44 câu đầu, phần 6 câu cuối chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất đạt điểm tối đa.
b) Một bể nước không có nước có hai vòi: vòi chảy vào từ trên xuống, vòi tháo nước tại lưng chừng bể. Khi mở cả hai vòi, bể đầy sau 2 giờ 42 phút; nếu chỉ mở vòi chảy vào, bể đầy sau 1 giờ 30 phút. Vòi chảy vào chảy lượng nước gấp đôi vòi tháo ra trong cùng thời gian. Hỏi mở cả hai vòi từ lúc bể không có nước đến khi mực nước ngang chỗ vòi tháo mất bao lâu?
Câu 3 (6 điểm):
a) Giải phương trình (4x^2 - 2x + 1)/(2x - 1) + (2x^2 - 4x + 4)/(x + 5) = 0.
b) Giải hệ phương trình:
3xy + 2x + y = 14
6x + 12y - 7 = -x^2 + y^2
Câu 4 (7 điểm):
Cho tam giác vuông cân ABC tại B, O là trung điểm AC. Trên cạnh AB lấy điểm M (khác A và B), dựng điểm N sao cho góc MON = 90 độ với N thuộc BC.
a) Chứng minh MA = NB.
b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với MN, hai đường thẳng cắt nhau tại E, ON cắt BE tại K. Chứng minh KN là tia phân giác góc BKC.
c) Tia phân giác EKC cắt CE tại H. Chứng minh KC/KB = (KN/KB) + (BE/KH) + (CK/CK) (theo đúng biểu thức được cho trong đề).
Câu 5 (1 điểm):
Cho đa giác đều 2025 cạnh. Các đỉnh được sơn hai màu xanh và đỏ. Chứng minh tồn tại ba đỉnh cùng màu tạo thành tam giác cân.
Giá trị thực tiễn của đề kiểm tra:
- Giúp học sinh củng cố và phát triển kỹ năng giải các bài toán nâng cao về số học, đại số, hình học và xác suất thống kê, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi.
- Các bài tập minh họa những dạng toán đặc trưng như chứng minh chia hết, xác suất trong chọn ngẫu nhiên, giải phương trình phức tạp, cũng như hình học phẳng kỹ thuật cao.
- Bài toán về mật khẩu số giúp học sinh rèn luyện kiến thức số chính phương và tư duy suy luận logic; bài toán vòi nước là thực tế liên quan đến vận tốc và tỷ lệ công suất làm đầy bể.
- Bài toán về đa giác đều và tô màu là ví dụ của bài toán tổ hợp và hình học tổ hợp, phát triển kỹ năng suy luận và chứng minh.
Đề kiểm tra có độ khó phù hợp để đánh giá toàn diện kiến thức nâng cao, kỹ năng giải quyết bài toán mở và rèn luyện kỹ năng chứng minh chặt chẽ cho học sinh lớp 9 chuẩn bị bước vào cấp trung học phổ thông.
