Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 9 trường THCS Cầu Giấy năm học 2025–2026 bao gồm ba bài toán quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, chứng minh và giải toán nâng cao.
Bài 1: Xác suất
Cho hai hộp kín: hộp thứ nhất chứa 8 thẻ đánh số từ 1 đến 8, hộp thứ hai chứa 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi hộp. Yêu cầu tính xác suất sao cho tích số trên hai thẻ chọn được chia hết cho 7.
Bài toán giúp học sinh thực hành tính xác suất với điều kiện đặc biệt, vận dụng kiến thức chia hết cho số nguyên để phân loại các số thích hợp.
Bài 2: Hình học với tam giác nhọn
Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC. Dựng các đường cao AD, BE, CF. Kẻ đường thẳng AT vuông góc với đoạn EF tại T.
- Chứng minh: Tỉ số độ dài TE/TF bằng tỉ số DB/DC.
- Tiếp tục: Gọi M, N lần lượt là trung điểm BE và CF. Trên EF lấy các điểm K, L sao cho BK // MT và CL // NT. Chứng minh FK = EL.
- Cuối cùng: Giả sử TM và TN cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn PQ.
Bài tập yêu cầu vận dụng các kiến thức về hình học phẳng, trung điểm, các đường cao và các tính chất song song trong tam giác, rất phù hợp để ôn luyện kỹ năng chứng minh hình học nâng cao.
Bài 3: Bài toán tổ hợp và tập hợp
Cho các tập hợp A1, A2, ..., An, mỗi tập có đúng 30 phần tử. Đồng thời thỏa mãn:
- Mỗi cặp tập hợp bất kỳ có đúng một phần tử chung;
- Không có phần tử nào thuộc tất cả các tập hợp trên.
Hãy chứng minh rằng số lượng tập hợp n phải thỏa mãn n ≤ 871.
Bài toán yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập hợp và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, rèn luyện tư duy logic và khả năng xử lý bài toán tổ hợp có điều kiện.
Đề thi này có tính phân loại cao, giúp học sinh lớp 9 nâng cao trình độ giải bài tập toán học sinh giỏi thông qua các lĩnh vực xác suất, hình học và tổ hợp – tập hợp, phù hợp để ôn luyện cho các kỳ thi chọn đội tuyển và các cuộc thi học sinh giỏi cấp thành phố và quốc gia.
