Chào các em và thầy cô, hôm nay thầy/cô giới thiệu đến các em đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm học 2025 – 2026 của trường THPT số 1 Lê Hồng Phong, tỉnh Đắk Lắk. Đây là đề thi có tính thử thách và bao gồm các câu hỏi đa dạng, giúp các em rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán. Ngoài ra, đề cũng kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, rất tiện lợi cho quá trình ôn tập.
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Cho hàm số ( y = x^{4} - x^{2} + 1 ) với đồ thị ( (P) ), đồng thời xem xét đường thẳng ( d : y = 7x + 1 ). Nhiệm vụ là tìm tọa độ giao điểm giữa đường thẳng ( d ) và đồ thị ( (P) ). Đây là dạng bài rất quen thuộc, giúp các em luyện khả năng giải phương trình bằng cách thế.
b) Tiếp theo, cần tìm giá trị thực ( m ) sao cho bất phương trình ( x^{2} + 2mx - 3m +1 < 0 ) vô nghiệm. Bài này giúp các em ôn lại kiến thức về bất phương trình và điều kiện vô nghiệm.
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình sau:
- ( x^{2} - y^{2} = 3 )
- ( 2xy + x + y = 5 )
Hệ phương trình này có tính hấp dẫn, giúp các em vận dụng kiến thức giải hệ phương trình phi tuyến bằng cách biến đổi và sử dụng các phép tính đại số.
b) Bài toán thực tiễn có nội dung như sau: Một nhà địa chất đang ở vị trí ( A ) trên sa mạc cách một con đường thẳng đoạn ( AN = 10 ) km. Trên con đường, xe chạy với vận tốc 50 km/h, còn trên sa mạc vận tốc là 30 km/h. Nhà địa chất cần đến trạm xăng tại vị trí ( P ) nằm trên con đường, với khoảng cách ( NP = 25 ) km. Trên đoạn đường từ ( N ) đến ( P ), có vị trí ( M ). Nhà địa chất sẽ đi từ vị trí ( A ) qua sa mạc để đến ( M ) rồi tiếp tục đi trên con đường đến trạm xăng ( P ). Tổng thời gian đi hết quãng đường là 46 phút. Yêu cầu là xác định vị trí ( M ) cách vị trí ( N ) bao nhiêu kilômét.
Bài toán này giúp các em áp dụng kiến thức chuyển động, vận tốc, khoảng cách trong việc giải bài toán thực tế, rất thường gặp trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi.
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ( ABC ) có các cạnh ( AB = c ), ( AC = b ), ( BC = a ). Gọi ( h_a ) là đường cao kẻ từ đỉnh ( A ), ( p ) là nửa chu vi tam giác ( ABC ). Giả sử tam giác thỏa mãn ( h_a = sqrt{p(p - a)} ). Các em hãy chứng minh rằng tam giác ( ABC ) là tam giác cân.
Bài chứng minh này giúp củng cố kiến thức về tính chất tam giác và áp dụng định nghĩa đường cao, nửa chu vi để giải bài tập hình học chứng minh.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ( ABC ), lấy các điểm ( I, J, K ) thỏa mãn các điều kiện sau:
- ( IB - 3IC = 0 )
- ( JA = 3CJ )
- ( KA + KB = 0 )
Yêu cầu các em chứng minh ba điểm ( I, J, K ) thẳng hàng. Đây là bài tập hình học tọa độ, đòi hỏi các em vận dụng kỹ năng sử dụng vectơ giải quyết các bài toán về vị trí thẳng hàng.
Thầy/cô mong rằng, qua đề thi này, các em sẽ được luyện tập kỹ càng hơn, nhất là các dạng toán nâng cao, thực tế và chứng minh mà bài nào cũng có thể gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi hoặc luyện thi đại học. Các em nhớ chú ý cách trình bày lời giải và làm bài cẩn thận, rõ ràng nhé!
