Thầy cô và các em học sinh thân mến, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải chi tiết đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của trường THPT số 1 Ngô Gia Tự năm học 2025-2026. Đây là đề thi rất hay, cung cấp những bài toán thực tế và bài toán nâng cao thú vị, phù hợp để luyện tập kỹ năng phân tích và vận dụng kiến thức hàm số, xác suất, xác định tập nghiệm, cũng như giải hệ phương trình. Chúng ta cùng xem từng câu nhé.
Câu 1 (4 điểm)
1.1. Cho hàm số ( y = dfrac{3x^2 + 2mx + 1}{1 - 2mx + 3m^2}). Các em lưu ý, nhiệm vụ của chúng ta là tìm tất cả các giá trị của tham số ( m ) để hàm số nghịch biến trên khoảng ( (0;3) ). Đây là dạng bài tập về khảo sát sự biến thiên của hàm số có tham số, rất hữu ích để các em vận dụng trong các bài toán thực tế.
1.2. Bài toán thực tế rất thú vị: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Khi sản xuất và bán ( x ) sản phẩm với ( 0 < x leq 2500 ), tổng thu nhập của doanh nghiệp là ( f(x) = 2006x - x^2 ) (đơn vị nghìn đồng), còn tổng chi phí là ( g(x) = x^2 + 1438x - 1209 ). Đặc biệt, doanh nghiệp chịu một mức thuế phụ thu là ( t ) nghìn đồng trên mỗi đơn vị sản phẩm bán ra, với ( 0 < t < 320 ). Công việc của chúng ta là tìm giá trị của ( t ) để bên nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất đồng thời doanh nghiệp cũng tối đa lợi nhuận theo mức thuế đó. Đây là một bài toán ứng dụng thực tế rất tốt để ôn luyện kiến thức về hàm số bậc hai và bài toán tối ưu.
Câu 2 (4 điểm)
2.1. Giải phương trình logarithm:
[ 2^{2x + 5} cdot 2^{2x - 5} = log_{2x + 11}(2x + 12) ]
Câu hỏi này yêu cầu sự thật kỹ khi xử lý biểu thức mũ đồng cơ số, kết hợp với tính chất của logarit, thường xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi các em phải phân tích và tìm tập xác định hợp lý.
2.2. Giải hệ phương trình:
[ left{ begin{array}{l} f(x,y) = 0 \ g(x,y) = 0 end{array} right. ]
Dạng bài tập giải hệ phương trình cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề nâng cao, nhằm kiểm tra khả năng vận dụng nhiều kiến thức đại số của học sinh.
Qua đề thi này, các em không những nắm vững kiến thức mà còn có dịp rèn luyện kỹ năng phân tích và xử lý bài toán thực tế lẫn trừu tượng. Các câu hỏi có sự kết hợp giữa lý thuyết với ứng dụng rất sát với thực tiễn, đặc biệt là bài toán doanh nghiệp và các bài toán routing vị trí, di chuyển trong không gian địa lý.
Thầy/cô thấy nhiều bạn thường nhầm lẫn khi xác định phạm vi hoặc tập xác định của hàm số, nên các em cần chú ý thật kỹ bước khảo sát trước khi tính đạo hàm và xét dấu. Câu hỏi về xác suất di chuyển quân vua cũng là dạng rất hay, giúp chúng ta luyện kỹ năng vận dụng xác suất có điều kiện và quan sát trên bàn cờ.
Hy vọng tài liệu này sẽ hỗ trợ rất tốt cho các em luyện tập và ôn thi học sinh giỏi lớp 12. Các dạng toán bao gồm khảo sát hàm số, tối ưu hóa, giải phương trình và hệ phương trình, xác suất di chuyển đều là những phần trọng tâm và phổ biến trong các kỳ thi quan trọng.
