Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Khánh Hòa năm học 2024-2025 bao gồm các câu hỏi tập trung vào các phần kiến thức quan trọng như giải phương trình, bất phương trình, tính tổng dãy số, chứng minh đồ thị hàm số, tối ưu biểu thức, hình học không gian và hình học phẳng.
Câu 1 gồm hai phần về giải phương trình lượng giác phức tạp và tính tổng dãy số hữu hạn với biểu thức chứa logarithm. Ví dụ: giải phương trình ( cos^2 x + (sin x - sin 3x) cos x - sin x sin 3x = 0 ) và tính tổng các số hạng trong dãy ( u_n = log_{2025} frac{2025n}{2025 - n} ) với n từ 1 đến 2024.
Câu 2 kiểm tra kỹ năng chứng minh đồ thị hàm số đi qua ba điểm cố định thẳng hàng với mọi tham số m, cùng với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các số thực thỏa mãn điều kiện có chứa số mũ và biến đổi phức tạp. Ví dụ: hàm số ( y = 2(1+m)x^3 -3(m+1)x^2 + x + frac{m}{2} - 1 ) và biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất ( T = x - 2y + 3 ).
Câu 3 gồm giải bất phương trình chứa biểu thức logarit phức tạp và tính giá trị biểu thức đại số với các biến thỏa mãn hệ phương trình liên quan đến bình phương và tổng.
Câu 4 là bài toán xác suất tổ hợp có tính ứng dụng cao, ví dụ: chọn chỗ ngồi ngẫu nhiên trong lớp học, xác suất bắt thỏ trắng và thỏ đen trong chuồng, giúp học sinh vận dụng kiến thức tổ hợp xác suất để giải quyết vấn đề thực tế.
Câu 5 thuộc phần hình học không gian, yêu cầu tìm góc giữa hai đường thẳng trong hình lập phương, tính tỉ số thể tích giữa các khối tứ diện đều, và bài toán tìm giá trị lớn nhất diện tích toàn phần của tứ diện với điều kiện về chu vi tam giác, sử dụng kiến thức hình học phẳng và không gian nâng cao. Ví dụ: tính góc giữa hai đường thẳng AM và BC', tỉ số thể tích ABCE và EBCD khi điểm E trên cạnh AD sao cho tan của góc giữa hai mặt phẳng được cho.
Đề thi có tính hệ thống cao với từng dạng bài tập từ đại số, giải tích đến hình học, giúp học sinh củng cố kiến thức, luyện kỹ năng giải toán phức tạp, chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, phù hợp để ôn luyện và nâng cao năng lực toán học lớp 12.
