Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2025 - 2026 trường THCS Nguyễn Trãi gồm 6 câu hỏi với thời gian làm bài 150 phút, tập trung đánh giá kiến thức và kỹ năng giải toán chuyên sâu.
Câu 1 (3,0 điểm)
- a) Chứng minh biểu thức (A_n = 3^{n+1} + 3^{n-1} + 1) là hợp số với mọi số nguyên dương (n).
- b) Tìm một số chính phương có 4 chữ số sao cho khi cộng thêm 1 vào mỗi chữ số, ta cũng được một số chính phương.
Câu 2 (4,0 điểm)
- a) Giải phương trình có dạng phức tạp từ biểu thức liên hợp.
- b) Giải hệ phương trình chứa các biến và bậc khác nhau.
Câu 3 (3,0 điểm)
- a) Bác An gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 3% mỗi năm và phí duy trì tài khoản 80 nghìn đồng mỗi năm. Tính số tiền trong tài khoản sau 3 năm và đưa ra công thức tính số tiền dư sau 10 năm nếu (m) là số tiền ban đầu.
- b) Một tấm bìa chữ nhật kích thước 50 cm x 30 cm, cắt tại 4 góc các hình vuông cạnh (x) cm, sau đó xếp thành hộp không nắp. Tìm giá trị (x) sao cho diện tích xung quanh của hộp đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (7,0 điểm)
Xét tam giác vuông ABC tại A với cạnh BC = (2a), đường cao AH, và các hình chiếu D, E của H trên AC, AB. Yêu cầu:
- a) Chứng minh một đẳng thức liên quan các đoạn thẳng trong tam giác.
- b) Trên hình vẽ dựng các đường thẳng song song, chứng minh các đoạn thẳng vuông góc với nhau theo yêu cầu.
- c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE trong tam giác vuông.
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng trong việc tô ba màu xanh, đỏ, vàng trên mặt phẳng, luôn tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Câu 6 (2,0 điểm)
Hai bạn Minh và Huy chơi trò chơi chọn số ngẫu nhiên từ các tập hợp đã cho. Tính xác suất biến cố “Bạn Minh thắng”.
Tài liệu này giúp học sinh lớp 9 ôn tập và luyện tập kỹ năng giải các dạng toán từ giản đơn đến nâng cao, đồng thời rèn luyện khả năng phân tích luận chứng và tư duy logic trong toán học.
