Đề thi gồm 5 bài chính với tổng điểm 20 điểm, dành cho học sinh lớp 9 thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2025-2026 tại xã Phúc Thọ. Thời gian làm bài là 150 phút, đề bao gồm các phần đại số và hình học nâng cao.
Bài I (5 điểm): Tập trung vào rút gọn biểu thức, tìm giá trị lớn nhất và giải phương trình bậc bốn. Ví dụ: Cho A = (frac{x+1}{x^2+3}) và B = biểu thức phân thức phức tạp, tìm giá trị lớn nhất của (M = frac{A}{B}).
Bài II (3 điểm): Gieo xúc xắc tính xác suất, đồng thời yêu cầu tìm số nguyên làm cho biểu thức bậc hai nhận giá trị chính phương. Ví dụ: Tính xác suất tổng số chấm chia cho 5 dư 2 khi gieo hai con xúc xắc.
Bài III (4 điểm): Chứng minh bất đẳng thức chuỗi số nghịch đảo bình phương và bài toán ứng dụng hình học tối ưu diện tích. Ví dụ: Chứng minh chuỗi (frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} +...+ frac{1}{2025^2} < frac{5}{3}) và tìm cách cắt dây đồng dài 100 cm sao cho tổng diện tích hai hình vuông gấp được nhỏ nhất.
Bài IV (6 điểm): Bài toán hình học về tam giác vuông, chứng minh các tứ giác, góc và các tính chất liên quan đến trung điểm, đối xứng và vuông góc. Có sơ đồ hình học đi kèm hỗ trợ phân tích hình.
Bài V (2 điểm): Các bài toán về đa thức bậc hai với điều kiện chia hết và bài chứng minh về tập hợp số nguyên tuỳ ý nhỏ hơn 50 có ước chung lớn nhất là 1.
Nội dung đề thi giúp học sinh nắm vững kiến thức đại số và hình học lớp 9 nâng cao, phù hợp ôn tập để chuẩn bị thi học sinh giỏi. Hướng dẫn chấm điểm chi tiết đi kèm giúp học sinh và giáo viên hiểu cách làm và đánh giá chính xác kết quả bài thi.
Đề thi còn cung cấp ví dụ cụ thể về cách giải phương trình, tính xác suất, chứng minh bất đẳng thức, tối ưu hình học, và giải toán đa thức, phù hợp cho học sinh có năng lực toán cao luyện tập đồng thời phát triển kỹ năng tư duy logic và tính toán chính xác.
