Đề thi bao gồm 5 câu hỏi toán học với các nội dung chính về phương trình, bất đẳng thức, dãy số thực dương, số nguyên dương và hình học phẳng có tính chất nâng cao. Đây là đề thi Olympic truyền thống dành cho học sinh lớp 10 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm 2025, nhằm tạo cơ hội cho các em rèn luyện và nâng cao năng lực giải toán.
Câu 1
Bài toán cho một phương trình dạng max của các hàm tuyến tính gồm 30 ẩn và hỏi phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm. Bài giải chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm và đưa ra ví dụ minh họa cụ thể.
Câu 2
Xét các số thực x, y thỏa mãn |x| ≤ 3 và |y| ≤ 3, chứng minh bất đẳng thức phức tạp liên quan đến các biểu thức bậc hai và tích. Câu này giúp học sinh luyện tư duy xử lý bất đẳng thức có điều kiện.
Câu 3
Nghiên cứu dãy số thực dương được viết theo vòng tròn, với điều kiện mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong dãy, và giải thích lý do kèm ví dụ cụ thể. Đây là dạng bài tập về dãy số nâng cao.
Câu 4
Xét hai số nguyên dương a, b với a > b, biết rằng 3^3a - 3^3b là ước của biểu thức 2^2 ab - a - b. Yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan. Đây là câu hỏi thuộc chủ đề số học và ước số, rất phù hợp để rèn luyện kỹ năng chứng minh.
Câu 5
Bài hình học nâng cao về tứ giác nội tiếp, các đường thẳng và điểm đặc biệt. Bao gồm hai phần chứng minh tập hợp điểm đồng phẳng trên một đường tròn và chứng minh ba điểm thẳng hàng, kèm theo hình vẽ minh họa. Bài tập này giúp nâng cao khả năng chứng minh hình học để chuẩn bị cho các kỳ thi cấp cao.
Đề thi được tổng hợp gồm đủ các chủ đề đại số, hình học, số học giúp học sinh lớp 10 có tài liệu ôn luyện chuyên sâu, luyện giải đề để phát triển tư duy toán học và chuẩn bị thi các kỳ thi học sinh giỏi hoặc Olympic Toán cấp trường, tỉnh.
