Thầy cô và các em học sinh thân mến, dưới đây là đề thi Olympic môn Toán dành cho học sinh lớp 8 và lớp 9 tại trường THPT chuyên Thái Nguyên năm học 2025 – 2026. Bài thi được thiết kế nhằm rèn luyện năng lực giải toán nâng cao, giúp các em ôn luyện và phát triển tư duy toán học một cách sâu sắc hơn.
Câu 1. Giải phương trình
(2x^2 + 1 = 2x + 3x^2)
Đây là dạng phương trình bậc hai thường gặp, các em cần chú ý đưa về dạng chuẩn rồi sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích thành nhân tử.
Câu 2. Tìm các số thực (m, n) thỏa mãn điều kiện
- Phương trình (x^2 + 5mx + 3n = 0) có hai nghiệm thực phân biệt (a, b > 0).
- Phương trình (x^2 + 2mx + n = 0) có hai nghiệm thực là (sqrt{a}, sqrt{b}).
Câu này kiểm tra kiến thức về hệ thức Vi-ét và phương pháp bài toán tham số, yêu cầu các em vận dụng linh hoạt các công thức và điều kiện để tìm ra tất cả các bộ (m, n) phù hợp.
Câu 3. Kiểm tra tồn tại đa thức (P(x)) thỏa mãn
- Dư của phép chia (P(x)) cho đa thức (x^2 + 7x + 10) là (2x + 1).
- Dư của phép chia (P(x)) cho đa thức (x^2 + 5x + 6) là (7x + 1).
Bài tập này nhằm kiểm tra kiến thức về đa thức và phép chia đa thức, giúp các em luyện tập kỹ năng kiểm tra và xác định tính hợp lệ của các biểu thức đa thức.
Câu 4.
a) Tìm tất cả các số nguyên dương (n) để biểu thức (n^4 - 15n^2 + 25) là số nguyên tố.
b) Cho ba số nguyên (a, b, c) sao cho ba số
- (A = a^3 + 3b c a + b^3 + c^3),
- (B = b^3 + 3 c a b + c^3 + a^3),
- (C = c^3 + 3 a b c + a^3 + b^3)
đều chia hết cho 11. Chứng minh rằng (a, b, c) cũng cùng chia hết cho 11.
Phần này vận dụng kiến thức về số học và chia hết, giúp các em nâng cao khả năng chứng minh các tính chất chia hết trong đại số.
Câu 5. Hình học
Cho tam giác ABC nhọn không cân, với các đường cao BE và CF tương ứng. Đường tròn nội tiếp tam giác (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tại các điểm D, U, V.
Đường thẳng (DI) cắt các đường thẳng (AC) và (AB) lần lượt tại các điểm (M) và (N).
- a) Chứng minh các tứ giác (BDEM) và (CDFN) là tứ giác nội tiếp.
- b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác (BDE) cắt đường thẳng (AB) tại điểm (K neq B). Đường tròn ngoại tiếp tam giác (CDF) cắt đường thẳng (AC) tại điểm (H neq C). Chứng minh tứ giác (HKMN) là nội tiếp, từ đó suy ra (HK) vuông góc với (EF).
- c) Đường thẳng (HK) lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác (BDE) và (CDF) tại (X) và (Y) (với (X neq K) và (Y neq H)). Gọi (J) là giao điểm của các đường thẳng (YV) và (XU). Chứng minh (J) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (DXY).
Đây là bài toán hình học nâng cao, đòi hỏi vận dụng kiến thức đường tròn, tứ giác nội tiếp và tính chất các đường cao trong tam giác. Các em lưu ý chú ý từng bước chứng minh và tận dụng định nghĩa các điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp để làm rõ các quan hệ.
Chúc thầy cô và các em học sinh ôn tập tốt, nắm chắc kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tập nâng cao này.
