Đề thi Olympic môn Toán dành cho học sinh THCS trường Chuyên Hạ Long năm 2025 gồm 5 câu hỏi với thời gian làm bài 150 phút. Tài liệu này là nguồn ôn tập lý tưởng giúp học sinh lớp 9 luyện kỹ năng giải toán chuyên sâu, phát triển tư duy logic và nắm chắc kiến thức khó trong chương trình.
Câu 1 (4 điểm)
- Phần a: Cho hai số thực phân biệt a, b khác 0 thỏa mãn (a^{2}+2ab=3b^{2}). Yêu cầu tính giá trị biểu thức (P=frac{(a+b)(a+2b)}{(a-b)(a-2b)}). Ví dụ, bằng cách biến đổi đại số sử dụng điều kiện đã cho, ta tìm ra giá trị cụ thể (P=frac{1}{10}).
- Phần b: Giải hệ phương trình (begin{cases}3x(x+y-2)=2y \ y(x+y-1)=9xend{cases}). Bài toán đòi hỏi phân tích và biến đổi để tìm nghiệm, gồm ba nghiệm phân biệt như ((0,0), (1,3), left(frac{2}{7}, -frac{9}{7}right)).
Câu 2 (4 điểm)
- Phần a: Cho ba số thực dương (a,b,c) với (a+b+c=3), chứng minh bất đẳng thức (frac{a}{1+b^{2}} + frac{b}{1+c^{2}} + frac{c}{1+a^{2}} geq frac{3}{2}). Ứng dụng bất đẳng thức AM-GM và khai triển biểu thức là các phương pháp cần thiết.
- Phần b: Một bài toán tổ hợp: Có 4 viên bi đỏ, 5 bi xanh, 6 bi vàng, tất cả khác nhau. Tính số cách chọn ra 4 viên sao cho có đủ cả 3 màu. Kết quả tổng là 720 cách, thông qua việc phân tích các trường hợp chọn cụ thể.
Câu 3 (7 điểm)
Bài toán hình học với tam giác nhọn (ABC) nội tiếp đường tròn ((O)), các đường cao và các điểm đặc biệt như (H, E, F, M, N, I, J, P, Q) được xác định qua các trung trực và giao điểm của các đường tròn nhỏ hơn. Các yêu cầu gồm:
- Chứng minh các điểm (I, J, B, C) cùng thuộc một đường tròn.
- Chứng minh điểm (P), giao điểm khác (H) của hai đường tròn nhỏ, cũng chính là giao điểm khác (A) của đường thẳng (AH) và đường tròn ((O)).
- Chứng minh điểm (Q), giao điểm khác (C) của đường tròn ngoại tiếp tam giác (P F C) và cạnh (AC), chính là trung điểm của đoạn thẳng (AI).
Bài toán này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng suy luận hình học phức tạp, sử dụng tính chất về trung trực, đường cao và tính chất nội tiếp đường tròn.
Câu 4 (4 điểm)
- Phần a: Chứng minh: Nếu bội chung nhỏ nhất (LCM) và ước chung lớn nhất (GCD) của hai số nguyên dương (a, b) đều là các số chính phương, thì (a, b) cũng là số chính phương. Bài chứng minh sử dụng phép chia và phân tích các số theo ƯCLN.
- Phần b: Tìm các số nguyên dương (x) để biểu thức (A = 4x^{3} + 9x^{2} - 10x - 15) là số chính phương. Qua biến đổi đa thức và phân tích, chỉ có giá trị (x=3) thỏa mãn điều kiện.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 20 điểm phân biệt trên mặt phẳng gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏ, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại cách nối mỗi điểm xanh với một điểm đỏ sao cho 10 đoạn thẳng này không cắt nhau (đôi một không có giao điểm). Bài toán rèn luyện kỹ năng lập luận tổ hợp và ứng dụng nguyên lý tối tiểu, sử dụng bất đẳng thức tam giác và phương pháp phản chứng.
