Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên năm học 2025-2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình gồm 5 bài tập với các câu hỏi vừa mang tính vận dụng kiến thức, vừa làm quen với các dạng toán nâng cao.
Câu 1 (2 điểm)
- Bài toán 1: Tìm x sao cho biểu thức ( A = frac{x-3sqrt{x}}{x+3sqrt{x}} + frac{x+5sqrt{x}}{x+12sqrt{x}+3} ) thỏa mãn ( A = 2x ) với điều kiện ( x > 0 ). Qua rút gọn, ta có ( A = sqrt{x} + 3 ); giải phương trình cho nghiệm x. Ví dụ cho thấy sự vận dụng về biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai và giải phương trình.
- Bài toán 2: Với hai số thực a, b thỏa mãn ( a geq 2025, b geq 2025 ) và ( 2025(a+b) = ab ), tính giá trị biểu thức ( P = sqrt{a - 2025} + sqrt{b - 2025} - frac{1}{45}sqrt{ab} ). Qua phương pháp biến đổi đại số, ta chứng minh được ( P = 0 ).
Câu 2 (2 điểm)
- Phần 1: Giải hệ phương trình phức tạp có chứa căn bậc hai và phương trình bậc hai. Kết quả là nghiệm duy nhất ( (x,y) = (1,3) ). Qua việc phân tích từng trường hợp và sử dụng các bước biến đổi đại số hợp lý, bài toán giúp ôn luyện kỹ năng giải hệ phương trình phức tạp.
- Phần 2: Một bài toán hình học thực tế từ thiết kế sân trường. Cho hình chữ nhật ABCD, xác định vị trí khoan giếng sao cho tổng chiều dài đường ống nước ngắn nhất nối từ giếng đến hai nhà vệ sinh đặt tại E và B. Bài toán vận dụng kiến thức về khoảng cách, đường thẳng vuông góc, song song và tính toán khoảng cách Euclide, kết quả tổng ngắn nhất là 100m.
Câu 3 (3 điểm)
- Phần 1: Chứng minh các tính chất hình học về thiết diện của đường thẳng cắt đường tròn, tính chất đồng dạng tam giác và các mối liên hệ giữa các điểm đặc biệt trong hình tam giác nhọn. Ví dụ: chứng minh tích đoạn thẳng ( MP cdot MQ = ME cdot MF ), chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác được xác định từ đối xứng điểm qua đường thẳng, cũng như tính chất đường trung trực.
- Phần 2: Tính diện tích phần tô đậm trong một logo được tạo bởi giao của các hình tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh 20cm. Bài toán yêu cầu vận dụng kiến thức hình học hình học và diện tích phần hình quạt, hình viên phân, áp dụng định lý Pytago và công thức tính diện tích hình quạt cung tròn.
Câu 4 (2 điểm)
- Phần 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai hai ẩn số kết hợp chéo. Qua biến đổi và đặt ẩn mới, ta hệ thống được tập nghiệm nguyên cụ thể.
- Phần 2: Với số nguyên dương n, biểu thức tổng các bình phương từ 1 đến n được chứng minh có các tính chất chia hết và giá trị biểu thức cho trước là số chính phương. Bài toán khuyến khích học sinh làm quen kỹ năng chứng minh bằng quy nạp và biến đổi đa thức.
Câu 5 (1 điểm)
- Phần 1: Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức có điều kiện về ba số thực dương thỏa mãn một phương trình liên hệ. Bài toán thể hiện kỹ năng bất đẳng thức và biến đổi đại số.
- Phần 2: Chứng minh tồn tại tam giác cân được tô cùng màu trong đa giác đều 2025 cạnh được tô hai màu, áp dụng nguyên lý Dirichlet. Đây là bài toán tổ hợp hình học giúp rèn luyện khả năng tư duy logic và trực quan hình học.
Đề thi và lời giải chi tiết giúp học sinh luyện tập từng dạng bài tập đại số, hình học, tổ hợp nâng cao, phù hợp cho ôn thi lớp 10 chuyên. Việc thực hành giải đề này giúp học sinh phát triển tư duy toán học cũng như kỹ năng giải quyết bài toán trong đề thi tuyển sinh.
