Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2025 – 2026 tại trường chuyên Hùng Vương tỉnh Phú Thọ là tài liệu trọng điểm giúp học sinh ôn luyện kiến thức và kỹ năng giải toán theo chuẩn yêu cầu tuyển sinh các trường chuyên. Đề thi gồm ba phần chính với các câu hỏi thể hiện sự đa dạng và thách thức về kiến thức Toán học.
Phần 1: Hình học
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Điểm M chuyển động trên d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn, A và B là các tiếp điểm. Giao điểm của đoạn MO và AB là H. Ngoài ra, có đường thẳng a đi qua M cắt (O) tại C và D với MC < MD.
- Câu hỏi a): Chứng minh tích MH.MO bằng tích MC.MD.
- Câu hỏi b): Chứng minh điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M di động trên d.
- Câu hỏi c): Vẽ thêm đường thẳng b (khác a) đi qua M cắt (O) tại E, F (ME < MF). Chứng minh các đường DE, CF và AB đồng quy tại một điểm.
Phần 2: Bài toán tổ hợp sắc màu
An có 10 hộp đựng bi, mỗi hộp chứa 3 viên bi, mỗi viên có một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Mỗi hộp chứa 3 viên có màu khác nhau và không có hai hộp nào có bộ ba màu giống nhau. Khi An lấy ra từ mỗi hộp một viên, có câu khẳng định rằng sau đó chắc chắn có 2 hộp mà 2 viên bi còn lại trong mỗi hộp có màu giống nhau tương ứng.
Yêu cầu: Học sinh cần phân tích và chứng minh khẳng định trên là đúng hay sai dựa trên tính chất màu sắc và cách chọn từ mỗi hộp.
Phần 3: Bài toán về số nguyên tố
Cho p là số nguyên tố; a, b là các số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức ( frac{p}{a} + frac{p}{b} = 1 ) và tổng ( a + b ) chia hết cho p.
Học sinh được yêu cầu chứng minh rằng ( frac{a + b}{p} = 4 ).
Đề thi gồm các câu hỏi trọng tâm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học, tư duy tổ hợp và kiến thức số học liên quan đến số nguyên tố và phân tích biểu thức đại số. Với đề thi này, học sinh lớp 10 có thể củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào các trường chuyên thông qua việc luyện tập các dạng bài tập đa dạng và cấp độ khó tăng dần.
