Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên tỉnh Đồng Nai năm học 2025-2026 gồm 5 bài chính, được ra trong thời gian 150 phút với các kiến thức Toán học lớp 10, tập trung vào biến đổi biểu thức, giải hệ phương trình, đa thức, tổ hợp, số học và hình học.
Bài 1
- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, cụ thể là biểu thức liên quan đến (x) và căn (sqrt{x} -1), (sqrt{x} + 2).
- Tìm giá trị tham số (m) để phương trình bậc hai (x^{2} - 2x + 3m + 1=0) có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện về tổng lập phương hai nghiệm là 20.
Ví dụ, với câu hỏi rút gọn biểu thức, khi (x) thỏa mãn điều kiện, ta biến đổi và giản lược biểu thức thành (sqrt{x} - 1). Câu hỏi này chú trọng kỹ năng biến đổi căn thức cơ bản.
Bài 2
- Giải hệ phương trình chứa ẩn (x,y) với căn thức ở vế phải.
- Chứng minh một điều kiện liên quan đến đa thức bậc ba (P(x)) thỏa mãn đẳng thức chéo và xác định (P(x)) dựa vào các giá trị đã cho.
Ý đầu giúp luyện kỹ năng phân tích và xử lý hệ phương trình phức tạp bằng cách phân tích thành nhân tử và điều kiện xác định nghiệm.
Bài 3
- Chứng minh tồn tại tập con gồm 7 số trong 37 số nguyên dương sao cho tổng của chúng chia hết cho 7, sử dụng nguyên lý Dirichlet.
- Tìm các số nguyên tố (p) sao cho với mọi số nguyên dương (a,b), hai số (a + 8b) và (6a + 43b) hoặc cùng chia hết hoặc cùng không chia hết cho (p).
Bài toán này mang tính tổ hợp và số học cao, phân loại tốt học sinh có tư duy.
Bài 4
- Đẳng thức bất đẳng thức với các số thực dương (a,b) chứng minh (a^{3} + b^{3} geq a^{2}b + ab^{2}).
- Bất đẳng thức mở rộng với 3 số thực dương (a,b,c) và điều kiện về tích các cặp, chứng minh một biểu thức bất đẳng thức phức tạp hơn.
Bài 5
- Cho tam giác nhọn (ABC) với các trung điểm (I,J,M) trên các cạnh, định nghĩa điểm (D) là giao điểm hai đường tròn có đường kính dựa trên cạnh.
- Chứng minh tứ giác (AIMJ) là hình bình hành và điểm (B,D,C) thẳng hàng dựa vào tính chất góc vuông trong đường tròn.
- Chứng minh các tứ giác khác nội tiếp, các quan hệ góc và tỉ lệ đoạn thẳng trong hình với các tiếp tuyến và điểm đối xứng.
Bài hình học này phát huy khả năng vận dụng kiến thức hình học về đường trung bình, tứ giác nội tiếp và tính chất tiếp tuyến đường tròn để chứng minh các tính chất quan trọng.
Tổng thể đề thi này giúp học sinh ôn luyện toàn diện các kiến thức toán học đã học, rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tư duy tổ hợp và vận dụng kiến thức hình học phẳng. Qua đó, học sinh lớp 10 sẽ có nền tảng vững chắc để bước vào năm học mới cũng như chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi tuyển sinh khối chuyên.
