1. Khái niệm vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng với các tính chất tương tự vectơ trong mặt phẳng, gồm độ dài, giá của vectơ và các phép toán cộng, trừ, nhân với một số. Ví dụ, vectơ AB có điểm đầu A và điểm cuối B, độ dài ký hiệu là AB, giá là đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối.
2. Các phép toán vectơ trong không gian
Tổng của hai vectơ a và b là vectơ AC tạo từ điểm đầu A tới điểm cuối C, trong đó C là điểm cuối khi ta vẽ vectơ AB = a và vectơ BC = b. Tương tự, hiệu của hai vectơ là tổng vectơ a và vectơ đối của b. Tích một số với vectơ được định nghĩa bằng cách nhân độ dài vectơ với số đó, vectơ vẫn giữ hoặc đổi hướng tùy theo dấu số nhân. Ngoài ra có khái niệm sự đồng phẳng của ba vectơ, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng được xác định qua tổ hợp số thực m, n.
3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Tích vô hướng a.b của hai vectơ a và b được xác định qua độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ như sau: a.b = |a||b|cosθ. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc với nhau. Tích vô hướng có tính chất giao hoán, phân phối và tính chất nhân số.
Phần A: Tự luận
Bài tập trong tài liệu gồm các dạng bài đặc trưng:
- Khái niệm vectơ: phân tích các vectơ có trong hình tứ diện, hình hộp, lập phương.
- Chứng minh đẳng thức vectơ: áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các hệ thức trung điểm và trọng tâm để chứng minh các đẳng thức.
- Phân tích một vectơ theo các vectơ khác: biểu diễn vectơ qua các vectơ cơ sở trong các hình lăng trụ, hình chóp với trọng tâm.
Phần B: Trắc nghiệm và tự luận tổng hợp
Nội dung các câu hỏi trắc nghiệm tập trung vào vận dụng các kiến thức vectơ trong không gian liên quan đến hình tứ diện, hình hộp, hình lăng trụ, hình lập phương và các tính chất của tích vô hướng. Đề cập tới tính vuông góc, đồng phẳng, tính chất hình học của các đối tượng trong không gian.
- Ví dụ: Tính số vectơ với điểm đầu và điểm cuối cho trước, đẳng thức vectơ trong hình hộp, hình tứ diện.
- Phân tích và chứng minh các đẳng thức liên quan trọng tâm, trung điểm, các vectơ cùng phương.
- Ứng dụng tính chất tích vô hướng để tính góc giữa các vectơ, độ dài vectơ trong các hình học không gian.
Phần C: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Gồm các bài toán tính toán nhanh về vectơ, tích vô hướng, góc giữa các vectơ trong không gian với hướng dẫn lời giải chi tiết ví dụ sử dụng định luật Newton, công của lực, ứng dụng thực tế.
Phần D: Câu tự luận
Học sinh trình bày cách giải các bài toán bỏ túi vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ theo cơ sở, xác định hệ số trong các biểu thức vectơ. Các bài toán đều liên quan đến hình học không gian như hình hộp, hình tứ diện, hình chóp hình lăng trụ và tính toán kết quả dựa trên các kiến thức vectơ, trọng tâm, trung điểm, tích vô hướng.
Tài liệu này rất hữu ích cho học sinh lớp 12 đang ôn tập học kỳ, luyện thi cao đẳng và đại học, vì nó hệ thống và chi tiết các bài tập cũng như lý thuyết vectơ trong không gian.
