Trong toán học lớp 11, quan hệ vuông góc trong không gian là một chủ đề quan trọng giúp học sinh hiểu và áp dụng các định lý và tính chất liên quan đến các đường thẳng, mặt phẳng vuông góc trong không gian ba chiều.
Hai đường thẳng vuông góc
Góc giữa hai đường thẳng m, n trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a, b lần lượt song song với m, n và cùng đi qua một điểm. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Có các công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng dựa trên định lý cosin trong tam giác.
- Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a, với SA vuông góc với đáy và SA = a√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.
- Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh SA=SB=SC=AB=AC=a, BC=a√3. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P). Qua một điểm chỉ duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước. Các định lý về quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng được nêu rõ.
- Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, với đáy là hình vuông ABCD, cạnh SA vuông góc với đáy. Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông và các tính chất liên quan.
- Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, với các cạnh AB, AD, SA cho trước. Tính cosin góc tạo bởi các cạnh và mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng đó.
- Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA, góc giữa SB và mặt phẳng (SBC) bằng 60°. Tính các góc và khoảng cách liên quan.
- Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác vuông có cạnh đáy và các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
Hai mặt phẳng vuông góc
Số đo góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng vuông góc, điều kiện vuông góc và các tính chất về khối lăng trụ, hình hộp, hình chóp đều được giới thiệu.
- Ví dụ 7: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc dựa vào các tính chất của tam giác, các đường cao, trực tâm và giao tuyến.
- Ví dụ 8: Cho tam giác vuông vẽ các đường cao vuông góc với các mặt phẳng và chứng minh các kết quả.
Khoảng cách trong không gian
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng và giữa các đối tượng song song được định nghĩa và ứng dụng vào các bài tập thực tế.
- Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong hình chóp có các cạnh vuông góc.
- Ví dụ 10: Cho hình hộp chữ nhật, tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng chéo.
Thể tích các khối hình
Thể tích của khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp được xác định qua công thức tính tích của diện tích đáy và chiều cao. Công thức thể tích các loại hình chóp đều và các bài tập minh họa cụ thể giúp học sinh vận dụng hiệu quả.
- Ví dụ 11: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, tính diện tích đáy và chiều cao.
- Ví dụ 12: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng nhau.
