Bài 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
I. Lý thuyết cơ bản:
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn sẽ lớn hơn.
- Ngược lại, cạnh đối diện với góc lớn hơn cũng lớn hơn.
- Trong tam giác vuông, cạnh huyền (đối diện góc vuông) luôn là cạnh lớn nhất.
- Trong tam giác tù, cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất.
II. Các dạng bài tập và phương pháp giải:
- Dạng so sánh các cạnh trong tam giác: Xác định tam giác chứa các cạnh đó. Tính hoặc xác định các góc đối diện. So sánh các góc để rút ra kết luận về độ lớn các cạnh.
- Dạng so sánh các góc: Ngược lại, xác định các cạnh đối diện với các góc cần so sánh, tính độ dài cạnh (nếu cần), so sánh rồi kết luận về độ lớn các góc.
- Dạng so sánh hai góc không nằm trong cùng tam giác: Sử dụng các góc trung gian như góc bù hoặc góc phụ để liên hệ so sánh hai góc.
- Dạng so sánh hai cạnh không trong cùng tam giác: Dùng một cạnh thứ ba bằng một trong hai cạnh cần so sánh để phân tích.
III. Ví dụ cụ thể:
- Cho tam giác ABC với góc A = 80°, C = 50°. Cạnh BC là cạnh lớn nhất và tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Cho tam giác MNP với góc M = 105°, N = 35°. Cạnh MP là nhỏ nhất, tam giác này thuộc loại tam giác tù tại M.
- Cho tam giác cân tại H có góc H = 50°, suy ra các góc còn lại bằng 65°; so sánh các cạnh tương ứng.
Bài 2. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên
I. Lý thuyết:
- Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là ngắn nhất.
- Độ dài đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
II. Dạng bài tập:
- Xác định các đường vuông góc, đường xiên: Dựa vào định nghĩa và hình vẽ để phân biệt.
- So sánh độ dài các đường xiên: Sử dụng định lý quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
- Bài toán thực tế: Vận dụng kiến thức về quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác, cũng như định lý đường vuông góc và đường xiên để giải quyết tình huống thực tế.
Ví dụ: Cho tam giác vuông, so sánh các đoạn thẳng từ các điểm trên tia đối của cạnh góc vuông đến các điểm trên hình, sắp xếp độ dài các đoạn thẳng theo thứ tự tăng hoặc giảm.
Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh tam giác
I. Lý thuyết:
- Trong một tam giác, mỗi cạnh có độ dài nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
- Độ dài mỗi cạnh cũng lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
- Bất đẳng thức tam giác: Với ba cạnh a, b, c, luôn có b - c < a < b + c (với tham số phù hợp).
II. Các dạng bài:
- Nhận biết ba đoạn thẳng có thể tạo thành một tam giác: So sánh độ dài lớn nhất với tổng hai đoạn còn lại, và độ dài nhỏ nhất với hiệu hai đoạn còn lại.
- Tìm độ dài cạnh còn lại: Ứng dụng điều kiện bất đẳng thức tam giác và bài toán xác định giá trị nguyên.
- Tính chu vi tam giác cân: Dựa vào định nghĩa tam giác cân và bất đẳng thức tam giác để xác định độ dài cạnh còn lại, từ đó tính chu vi.
- Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài: Sử dụng tính chất bất đẳng thức tam giác và các phép biến đổi đại số.
- Bài toán thực tế: Vận dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán ứng dụng.
Bài 4. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong tam giác
I. Lý thuyết chính:
- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại trọng tâm, điểm này chia tỉ lệ các đoạn trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.
- Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
II. Các dạng bài:
- Tính tỉ số các đoạn thẳng: Áp dụng tính chất trọng tâm và tính chất của các đường trung tuyến.
- Chứng minh các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng: Vận dụng tính chất đồng quy, tam giác bằng nhau.
- Chứng minh điểm là trọng tâm hoặc nằm trên đường phân giác: Sử dụng các cách chứng minh về giao điểm đường trung tuyến hoặc các tỉ lệ của đường trung tuyến, chứng minh điểm cách đều hai cạnh của góc.
- Xử lý các tam giác đặc biệt: Vận dụng các tính chất hình học của tam giác cân, vuông, đều trong chứng minh.
- Bài toán thực tế: Áp dụng tính chất đồng quy để giải các bài toán liên quan thực tế.
Bài 5. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
I. Lý thuyết:
- Ba đường trung trực cùng đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Ba đường cao đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác.
II. Dạng bài tập:
- Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: Dựa vào tính chất đường trung trực và tam giác bằng nhau.
- Tính số đo góc: Áp dụng kiến thức về đường trung trực, đường cao, tam giác đặc biệt.
- Bài toán liên quan đến đường trung trực và đường cao: Vận dụng tính chất của các tam giác đặc biệt để giải quyết chứng minh.
- Bài toán thực tế: Sử dụng tính chất đồng quy các đường trung trực và đường cao cho các bài toán ứng dụng.
Nội dung tài liệu này giúp học sinh lớp 7 hệ thống lại các lý thuyết quan trọng liên quan đến quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác, các tính chất của các đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao và vận dụng để giải các bài tập đa dạng từ nhận biết, so sánh đến chứng minh, cũng như ứng dụng trong các bài toán thực tế. Tài liệu là nguồn học liệu quý giá để ôn tập, luyện tập, rèn luyện tư duy và kỹ năng giải toán hình học lớp 7.