Bài 1. Biểu thức đại số
I. Lý thuyết cơ bản
Biểu thức số là các phép tính giữa các số với nhau, bao gồm cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Mỗi số cũng được xem là biểu thức số.
Biểu thức đại số gồm các số và các chữ (biến số) kết hợp với các phép tính như cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa. Trong biểu thức đại số, biến đại diện cho các số cụ thể chưa biết.
Khi viết biểu thức đại số có thể bỏ dấu nhân giữa các biến với nhau hoặc biến với số, ví dụ: ab thay cho a nhân b, 3x thay cho 3 nhân x.
Giá trị của biểu thức đại số là giá trị số thu được khi thay các biến bằng số cụ thể.
II. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1. Viết và diễn đạt biểu thức đại số
- Viết biểu thức đại số dựa trên mô tả bài toán bằng lời.
- Ví dụ viết biểu thức cho tổng bình phương hai số, tích, hiệu, trung bình cộng của các số cho trước.
- Ứng dụng biểu thức vào các bài toán thực tế như tính chu vi, diện tích các hình hay tính tổng tiền mua hàng.
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức đại số
- Thay giá trị cụ thể của biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính để tìm giá trị biểu thức.
- Có thể áp dụng cho các biểu thức chứa một hoặc nhiều biến.
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
- Xác định điều kiện cho biểu thức, thường là biểu thức bậc hai dạng trùng phương.
- Chứng minh bất đẳng thức giới hạn giá trị biểu thức, tìm giá trị đạt cực tiểu hoặc cực đại.
Bài 2. Đa thức một biến
I. Lý thuyết cơ bản
Đơn thức một biến dạng a x^n, với a khác 0, n là số nguyên dương. Hệ số a và bậc n xác định tính chất đơn thức.
Đa thức một biến là tổng các đơn thức có cùng biến, mỗi đơn thức gọi là hạng tử. Đa thức có thể được thu gọn bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc và sắp xếp theo bậc tăng hoặc giảm.
Bậc của đa thức là bậc lớn nhất trong các hạng tử; hệ số cao nhất là hệ số của bậc đó; hệ số tự do là hệ số hạng tử bậc 0.
Nghiệm của đa thức là giá trị x sao cho đa thức bằng 0.
II. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1. Nhận biết và phân tích đơn thức một biến
- Phân biệt biểu thức đơn thức hay không dựa vào định nghĩa.
- Xác định hệ số và bậc của đơn thức.
Dạng 2. Nhân các đơn thức
- Nhân hệ số với hệ số, nhân các lũy thừa của biến với nhau.
- Kết quả vẫn là đơn thức với hệ số và bậc mới.
Dạng 3. Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc
- Cộng, trừ hệ số giữ nguyên phần biến và bậc.
Dạng 4. Thu gọn và sắp xếp đa thức
- Nhóm các hạng tử cùng bậc lại, cộng trừ hệ số các hạng tử đó.
- Sắp xếp theo bậc tăng hoặc giảm của biến.
Dạng 5. Xác định bậc, hệ số của đa thức
- Xác định hạng tử bậc cao nhất và hệ số tương ứng.
- Xác định hệ số tự do từ hạng tử bậc 0.
Dạng 6. Tính giá trị đa thức
- Thu gọn đa thức (nếu cần).
- Thay giá trị biến rồi tính toán.
Dạng 7. Tìm nghiệm đa thức
- Tìm giá trị biến sao cho đa thức bằng 0.
Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
Cộng, trừ đa thức theo hai cách:
- Theo hàng ngang: viết hai đa thức trong dấu ngoặc, bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử cùng bậc.
- Theo cột dọc: sắp xếp các hạng tử theo bậc tăng hoặc giảm, đặt phép tính theo cột, cộng trừ từng cột.
Các dạng bài tập thường tập trung vào tính tổng, hiệu đa thức, tìm đa thức chưa biết, chứng minh đa thức không phụ thuộc biến và vận dụng vào bài toán cụ thể.
Bài 4. Phép nhân đa thức một biến
Quy tắc nhân:
- Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử và cộng lại.
- Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng.
Các dạng bài tập chính gồm làm tính nhân, rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, tìm giá trị chưa biết, chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến và giải bài toán có lời văn.
Bài 5. Phép chia đa thức một biến
Phép chia đa thức bao gồm các bước đặt tính tương tự chia số, chia hạng tử bậc cao nhất để tìm thương, nhân thương với đa thức chia trừ đi đa thức bị chia, lặp lại cho tới khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia hoặc dư bằng 0.
Phép chia hết khi dư bằng 0.
Các dạng bài tập liên quan đến chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa thức, xác định đa thức chia hết và tìm các giá trị biến sao cho giá trị đa thức chia hết cho đa thức khác.
Toàn bộ tài liệu giúp học sinh lớp 7 hệ thống kiến thức lý thuyết và thực hành bài bản về biểu thức đại số và đa thức một biến. Tài liệu thích hợp để ôn tập, luyện tập và rèn luyện kỹ năng giải toán, từ các dạng bài cơ bản đến nâng cao với hướng dẫn phương pháp cụ thể giúp việc tiếp thu hiệu quả hơn.
