Bài tập về mặt cầu, mặt trụ, mặt nón là phần hình học không gian rất hay xuất hiện trong các đề thi THCS và THPT, đặc biệt có tầm quan trọng khi luyện thi THPT Quốc gia. Trong tuyển tập này có tổng cộng 50 câu trắc nghiệm được chọn lọc kỹ càng, do thầy Trần Công Diêu biên soạn, mỗi bài đều có đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ tài liệu rất hữu ích để các em học sinh ôn luyện tập trung, vừa củng cố kiến thức, vừa luyện kĩ năng giải dạng bài tập phổ biến trong chương trình.
Ví dụ 1: Tính thể tích hình trụ tròn xoay và hình nón tròn xoay liên quan khối lập phương
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', với O' và O lần lượt là tâm của hai mặt vuông A'B'C'D' và ABCD, biết độ dài O'O bằng a. Gọi V1 là thể tích hình trụ tròn xoay có đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD, A'B'C'D', và V2 là thể tích hình nón tròn xoay có đỉnh O' và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Bài toán yêu cầu tính tỉ số V1/V2.
Qua dạng bài này, các em nên nhớ công thức thể tích hình trụ và hình nón, cùng kỹ năng xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình vuông dựa vào cạnh hình lập phương. Theo đó, đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và A'B'C'D' có bán kính bằng nửa đường chéo của hình vuông, còn đường tròn nội tiếp hình vuông có bán kính bằng nửa cạnh hình vuông.
Ví dụ 2: Bài tập hình nón với tam giác vuông cân và góc tạo bởi các cạnh
Cho tam giác ABC vuông cân tại C, nội tiếp trong đường tròn tâm O có đường kính AB. Xét điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho các đoạn SA, SB, SC tạo với mặt phẳng (ABC) các góc 45 độ. Yêu cầu lựa chọn khẳng định đúng về hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các lựa chọn gồm:
- A. Hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là hình nón tròn xoay.
- B. Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân.
- C. Khoảng cách từ O đến hai thiết diện qua đỉnh (SAC) và (SBC) bằng nhau.
- D. Cả ba câu trên đều đúng.
Bài tập này đòi hỏi các em vận dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đồng thời nhận diện hình nón tròn xoay dựa vào tính chất của tam giác vuông cân. Đây là dạng bài tập rất hay gặp trong đề thi thử và đề thi chính thức.
Ví dụ 3: Bài tập nhận biết tính chất hình nón qua thiết diện tam giác vuông cân
Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Các câu hỏi yêu cầu chọn câu sai trong các khẳng định sau:
- A. Đường cao bằng tích bán kính đáy.
- B. Đường sinh hợp với đáy góc 45 độ.
- C. Đường sinh hợp với trục góc 45 độ.
- D. Hai đường sinh tùy ý vuông góc với nhau.
Bài này giúp các em luyện tập để nhận biết đúng sai về mối quan hệ giữa đường cao, đường sinh và góc trong hình nón tròn xoay. Thầy thấy nhiều bạn thường nhầm lẫn về góc và vị trí các đường, nên khi làm dạng này các em nên vẽ hình chi tiết và ghi chú các yếu tố liên quan.
Câu hỏi vận dụng dạng trụ tròn xoay từ hình chữ nhật quay quanh đoạn thẳng
Cho hình chữ nhật ABCD với các kích thước AB = 4, AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình chữ nhật quanh đoạn thẳng MN, ta tạo thành hình trụ tròn xoay.
Bài toán yêu cầu tính thể tích của hình trụ này. Công thức thể tích được sử dụng là V = π × (bán kính)^2 × chiều cao. Ở đây, bán kính chính là đoạn MN = 4, và chiều cao là chiều dài cạnh vuông góc với MN, tức bằng 2.
Kết quả tính được thể tích V = 8π. Các em nên lưu ý cách xác định đúng trục quay và kích thước liên quan.
Câu hỏi so sánh thể tích hai hình trụ tròn xoay
Cho hình chữ nhật ABCD thỏa mãn AB = 2AD = 2. Quay hình chữ nhật quanh cạnh AD tạo ra hình trụ có thể tích V1, và quay quanh cạnh AB tạo ra hình trụ có thể tích V2. Hãy xác định quan hệ nào sau đây đúng giữa V1 và V2:
- A) V1 = V2
- B) V2 = 2V1
- C) V1 = 2V2
- D) 2V1 = 3V2
Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ tròn xoay ta có V = π × (bán kính)^2 × chiều cao. Quay quanh AD thì bán kính là AB, chiều cao AD và ngược lại. Thay số vào ta có V1 = 4π, V2 = 2π. Từ đó suy ra V1 = 2V2 là đáp án đúng.
Đây là bài tập cơ bản nhưng rất quan trọng để làm quen với hình trụ xoay và tỉ lệ thể tích khi quay quanh các trục khác nhau.
Những bài trong tuyển tập này đều được biên soạn để thuận tiện cho việc luyện đề và ôn tập hiệu quả. Các em lưu ý cố gắng tự làm trước khi xem đáp án và hướng dẫn, từ đó rút ra kinh nghiệm làm bài tốt hơn.
