Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
a. Khái niệm
- Hàm số y=f(x) đồng biến trên tập xác định K nếu với mọi x1<x2 trong K thì f(x1)<f(x2).
- Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K nếu với mọi x1<x2 trong K thì f(x1)>f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
b. Tính đơn điệu dựa vào dấu đạo hàm
- Nếu đạo hàm f'(x)>0 trên K thì hàm đồng biến trên K.
- Nếu f'(x)<0 trên K thì hàm nghịch biến trên K.
- Nếu f'(x)=0 trên K thì hàm không đổi trên K.
2. Cực trị hàm số
a. Khái niệm
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số chung gọi là điểm cực trị.
- Giá trị cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
- Điểm M(x0;f(x0)) là điểm cực trị nếu tại đó hàm đạt cực trị.
b. Cách tìm cực trị
- Đạo hàm đổi dấu từ + sang - tại x0 thì hàm đạt cực đại tại x0.
- Đạo hàm đổi dấu từ - sang + tại x0 thì hàm đạt cực tiểu tại x0.
- Điểm cực trị luôn có đạo hàm bằng 0 tại điểm đó.
c. Sử dụng bảng biến thiên
- Tìm tập xác định D của hàm.
- Tính đạo hàm và giải f'(x)=0 để tìm điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên và xét dấu f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.
Bảng biến thiên mẫu cho các hàm cơ bản:
- Hàm bậc ba: y=ax^3+bx^2+cx+d
- Hàm phân thức bậc 1/1: y=(ax+b)/(cx+d), luôn đơn điệu, không có cực trị.
- Hàm phân thức bậc 2/1: y=(ax^2+bx+c)/(dx+e), có thể có 2 cực trị hoặc không.
Chú ý: Công thức đạo hàm, kiểm tra cực trị cho các hàm phân thức được cung cấp để tiện sử dụng.
Bài 2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1. Định nghĩa
- Giá trị lớn nhất là giá trị M sao cho với mọi x trong D, f(x) ≤ M và tồn tại x0 trong D với f(x0) = M.
- Giá trị nhỏ nhất là giá trị m sao cho với mọi x trong D, f(x) ≥ m và tồn tại x0 trong D với f(x0) = m.
2. Định lí
- Mỗi hàm số liên tục trên đoạn đóng đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
- Nếu hàm đồng biến trên [a;b] thì min f(x)=f(a), max f(x)=f(b).
- Ngược lại nếu nghịch biến trên [a;b] thì min f(x)=f(b), max f(x)=f(a).
3. Cách tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
- Tính đạo hàm, giải f'(x)=0 tìm nghiệm trong khoảng.
- Lập bảng biến thiên và so sánh giá trị tại các điểm cuối và điểm tới hạn.
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Định nghĩa
- Đường thẳng x=a là tiệm cận đứng nếu lim f(x) → ±∞ khi x→a.
- Đường thẳng y=b là tiệm cận ngang nếu lim f(x)=b khi x→±∞.
- Đường tiệm cận xiên y=ax+b nếu lim (f(x)-ax-b) = 0 khi x→±∞.
2. Cách xác định
- Tiệm cận đứng tìm nghiệm mẫu số bằng 0 và kiểm tra giới hạn.
- Tiệm cận ngang xét bậc đa thức tử và mẫu và giới hạn tại vô cùng.
- Tiệm cận xiên tìm hệ số a,b qua giới hạn và phép chia đa thức (đối với phân thức hữu tỉ).
Chương 2: Véctơ và hệ tọa độ trong không gian
Bài 1. Véctơ và các phép toán véctơ trong không gian
1. Khái niệm
- Véctơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng.
- Độ dài véctơ ký hiệu |a|.
- Hai véctơ cùng phương nếu giá véctơ song song hoặc trùng.
- Hai véctơ bằng nhau nếu có cùng pháp tuyến và cùng chiều dài, hướng.
2. Các phép toán
- Tổng hai véctơ a+b định nghĩa theo quy tắc hình bình hành hoặc nối tiếp.
- Hiệu hai véctơ a-b là tổng của a và -b.
- Phép nhân một số k với véctơ a: tạo véctơ cùng phương, cùng hoặc ngược chiều tùy dấu k.
3. Tích vô hướng và góc giữa hai véctơ
- Tích vô hướng u.v = |u||v|cos(ỏ), ỏ là góc giữa u và v.
- Chú ý: u.v=0 khi u vuông góc với v, u.v>0 cùng hướng, u.v<0 ngược hướng.
4. Công thức tính hợp lực trong không gian
Công thức tính độ lớn hợp lực của ba lực tác dụng tại một điểm dựa trên góc giữa các lực.
Bài 2. Tọa độ véctơ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ Oxyz
- Ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc tại O.
- Véctơ đơn vị i, j, k lần lượt trên ba trục.
2. Tọa độ điểm M(x,y,z) và véctơ u(x,y,z)
- Tọa độ điểm là tọa độ véctơ OM.
- Các phép biến đổi hình chiếu, đối xứng, khoảng cách từ điểm đến trục hoặc mặt phẳng được mô tả công thức cụ thể.
Chương 3: Các số đặc trưng đo độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm
Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị
1. Khoảng biến thiên
- Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm là hiệu trị lớn nhất - nhỏ nhất trên nhóm cuối và nhóm đầu.
2. Khoảng tứ phân vị
- Cách tính dựa trên nhóm có tần số tích lũy vượt qua k/4 cỡ mẫu.
- Công thức tính tứ phân vị được cung cấp chi tiết.
- Khoảng tứ phân vị dùng để xác định ngoại lệ trong dữ liệu.
Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn
1. Định nghĩa
- Phương sai mẫu ghép nhóm là trung bình bình phương khoảng cách của giá trị đại diện tới giá trị trung bình.
- Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
- Ý nghĩa: đo mức độ phân tán của mẫu số liệu, với đơn vị cùng đơn vị dữ liệu.
Chương 4: Nguyên hàm - tích phân
Bài 1. Nguyên hàm
1. Định nghĩa
- Nguyên hàm F(x) của f(x) trên K là hàm có đạo hàm bằng f(x) trên K.
- Họ nguyên hàm là F(x)+C với C hằng số.
2. Tính chất
- Nguyên hàm phân phối theo hằng số nhân và tổng hiệu.
3. Nguyên hàm sơ cấp
- Nguyên hàm của lũy thừa, lượng giác, mũ với công thức chi tiết.
Bài 2. Tích phân
1. Định nghĩa
- Tích phân xác định từ a đến b của hàm liên tục f(x) là F(b)-F(a) với F nguyên hàm của f.
2. Tính chất và ý nghĩa
- Tính chất cộng, nhân hằng số, tính chất đổi cận.
- Ý nghĩa hình học: diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị f(x) và trục Ox.
- Ý nghĩa vật lý: quãng đường vật di chuyển theo vận tốc v(t).
3. Ứng dụng
- Diện tích vùng hình phẳng, thể tích khối tròn xoay và thể tích vật thể dựa trên tích phân.
Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Bài 1. Phương trình mặt phẳng
1. Véctơ pháp tuyến và chỉ phương
- VTPT là véctơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng.
- VTCP là véctơ chỉ phương nằm trong hoặc song song mặt phẳng.
- Tích có hướng của hai véctơ cho thông tin pháp tuyến mặt phẳng và xét đồng phẳng.
2. Phương trình tổng quát
- Phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 với véctơ pháp tuyến n=(A,B,C).
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết VTPT hoặc VTCP.
- Các trường hợp đặc biệt: mặt chắn, song song, vuông góc, khoảng cách, góc giữa mặt phẳng.
Bài 2. Phương trình đường thẳng
1. Véctơ chỉ phương và phương trình
- Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng dựa trên điểm và VTCP.
- Vị trí tương đối hai đường thẳng: song song, cắt nhau, chéo nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng với đường thẳng.
Chương 6: Xác suất có điều kiện
1. Xác suất có điều kiện
- Xác suất biến cố A có điều kiện biến cố B là đã xảy ra, ký hiệu P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
- Công thức nhân xác suất, độc lập, bất kỳ.
- Công thức Bayes và sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất.
Cùng khám phá một số hình khối mới lạ
Dạng công thức tính độ dài, diện tích, thể tích cơ bản của các hình khối như:
- Máng trượt thẳng nghiêng, xoắn ốc, parabol.
- Hình parabol tròn xoay, thể tích thùng rượu hình trụ phình giữa.
- Diện tích tam giác Reuleaux, tam giác bo tròn, khối trụ xoắn.
- Khối định hướng âm thanh, khối nêm, phiến trụ, hình nón và nón cụt.
- Phương trình mặt cầu và các dạng đặc biệt.
- Tiếp xúc và cắt mặt cầu, thể tích chỏm cầu.
- Thể tích khối chóp, lăng trụ, lập phương, và công thức hệ thức lượng trong tam giác, đa giác.
- Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng.
- Công thức tính diện tích, thể tích các hình nón, hình trụ, hình chóp, hình lăng trụ, cách đặt hệ trục tọa độ.
